Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(x
n
k
) x
n
k
−−−−→
k→∞
x
0
x
0
∈ [a; b] a 6 x
n
k
6 b
|f(x
n
k
)| > n
k
−−−−→
k→∞
∞,
¡
f(x
n
k
)
¢
f x
0
∈ [a; b]
lim
k→∞
f(x
n
k
) = f(x
0
)
¡
f(x
n
k
)
¢
[a; b]
x
0
f(x) =
1
x
(0; 1)
[a; b] x f(x) =
inf
x∈[a;b]
f(x) x f(x) = sup
x∈[a;b]
f(x)
f [a; b]
[a; b]
f ∈ C[a; b]
x ∈ [a; b] f(x) = m = inf
x∈[a;b]
f(x)
Ëåêöèÿ 14                                                                 87


âûäåëèì (ïî òåîðåìå Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà) ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü (xnk ). Ïóñòü xnk −−−−→ x0 . Òîãäà x0 ∈ [a; b], òàê êàê a 6 xnk 6 b
                             k→∞
è â íåðàâåíñòâàõ ìîæíî ïåðåõîäèòü ê ïðåäåëó.
   Òåïåðü, ñ îäíîé ñòîðîíû

                            |f (xnk )| > nk −−−−→ ∞,
                                            k→∞
                      ¡        ¢
è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü f (xnk ) íåîãðàíè÷åíà, à ñ äðóãîé, â ñèëó íåïðåðûâ-
íîñòè f â òî÷êå x0 ∈ [a; b] è îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ïî Ãåéíå

                              lim f (xnk ) = f (x0 )
                             k→∞
                              ¡       ¢
è, çíà÷èò, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü f (xnk ) îãðàíè÷åíà?!
    Ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó.
    Çàìå÷àíèå. Îòìåòèì âàæíîñòü óñëîâèÿ çàìêíóòîñòè ïðîìåæóòêà [a; b].
Îíî ãàðàíòèðóåò ïðèíàäëåæíîñòü òî÷êè x0 ìíîæåñòâó, ãäå ôóíêöèÿ íåïðå-
ðûâíà ïî óñëîâèþ, ÷åì ìû è âîñïîëüçîâàëèñü (ñóùåñòâåííî!) ïðè äîêàçà-
òåëüñòâå. Åñëè ýòî óñëîâèå â ïðåäïîëîæåíèÿõ îïóñòèòü, òî ðåçóëüòàò ñòà-
íîâèòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðåí.
    Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f (x) = x1 íåïðåðûâíà íà èíòåðâàëå (0; 1), íî íåîãðà-
íè÷åíà íà íåì (Âñå äîêàçàòåëüñòâà ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíî).
    Òåîðåìà (2-ÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà). Åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà
çàìêíóòîì ïðîìåæóòêå [a; b], òî ñóùåñòâóåò òî÷êà x, â êîòîðîé f (x) =
 inf f (x) è ñóùåñòâóåò òî÷êà x, â êîòîðîé f (x) = sup f (x).
x∈[a;b]                                                x∈[a;b]
    Áîëåå îáðàçíî ýòó òåîðåìó ôîðìóëèðóþò òàê:
          Åñëè f íåïðåðûâíà íà çàìêíóòîì ïðîìåæóòêå [a; b], òî îíà
          äîñòèãàåò ñâîèõ òî÷íûõ âåðõíåé è íèæíåé ãðàíåé.
   Åñëè æå âñïîìíèòü îïðåäåëåíèÿ ìàêñèìàëüíîãî è ìèíèìàëüíîãî ýëå-
ìåíòîâ, òî ýòó òåîðåìó åùå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:
          Ó ìíîæåñòâà çíà÷åíèé, êîòîðûå ïðèíèìàåò íåïðåðûâíàÿ ôóíê-
          öèÿ íà çàìêíóòîì ïðîìåæóòêå [a; b], ñóùåñòâóþò ìàêñèìàëü-
          íûé è ìèíèìàëüíûé ýëåìåíòû.
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü f ∈ C[a; b]. Ïî ïåðâîé òåîðåìå Âåé-
åðøòðàññà îíà îãðàíè÷åíà, ïîýòîìó ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé èìååò òî÷íûå
âåðõíþþ è íèæíþþ ãðàíè. Ìû ïîêàæåì òîëüêî, ÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà
x ∈ [a; b], â êîòîðîé f (x) = m = inf f (x). Îñòàâøååñÿ (äëÿ óñïåøíîé
                                      x∈[a;b]
ñäà÷è ýêçàìåíà) íåîáõîäèìî äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.

Страницы