Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

y = a
x
− 1 y → 0 x → 0 x = log
a
(1 + y)
lim
x→0
a
x
− 1
x
= lim
y →0
y
log
a
(1 + y)
= lim
y →0
1
log
a
(1+y)
y
= ln a.
lim
x→0
(1 + x)
α
− 1
x
= α
y = (1 + x)
α
−1
y → 0 x → 0 (1 + y) = (1 + x)
α
ln(1 + y) = α ln(1 + x)
lim
x→0
(1 + x)
α
− 1
x
= lim
x→0
(y →0)
y · α ln(1 + x)
x · ln(1 + y)
= lim
y →0
y
ln(1 + y)
lim
x→0
α ln(1 + x)
x
= α.
f(x) = x
α
x 6= 0 α < 0
x
0
6
= 0
lim
x→x
0
(x
α
− x
α
0
) = lim
x→x
0
x
α
0
h³
x
x
0
´
α
− 1
i
= lim
x→x
0
x
α
0
h³
1 +
x − x
0
x
0
´
α
− 1
i
=
lim
x→x
0
x
α
0
³
1 +
x−x
0
x
0
´
α
− 1
x−x
0
x
0
·
x−x
0
x
0
= 0
f x
0
U
δ
(x
0
) ( ) f
lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
) ⇒ ∃δ > 0 ∃C ∀x ∈ U
δ
(x
0
) ⇒ |f(x)| 6 C.
x
0
ε = 1 δ > 0 x ∈ U
δ
(x
0
)
f(x) ∈ U
1
¡
f(x
0
)
¢
f(x
0
)−1 < f(x) < f(x
0
)+
1 C = max{|f(x
0
)−1|, |f(x
0
)+1|}
|f(x)| < C
Ëåêöèÿ 13                                                                   85


   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé ïî ôîðìóëå
y = ax − 1, òîãäà y → 0 ïðè x → 0 è x = loga (1 + y). Ïîýòîìó (èñïîëüçóÿ
ïðåäûäóùåå ñëåäñòâèå)
                ax − 1             y                  1
            lim        = lim             = lim    loga (1+y)
                                                               = ln a.
            x→0   x      y→0 loga (1 + y) y→0
                                                       y

   Ñëåäñòâèå 3.
                                 (1 + x)α − 1
                            lim               =α
                             x→0      x
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé y = (1 + x)α − 1,
òîãäà y → 0 ïðè x → 0 è (1 + y) = (1 + x)α , çíà÷èò, ln(1 + y) = α ln(1 + x),
ïîýòîìó

    (1 + x)α − 1       y · α ln(1 + x)           y         α ln(1 + x)
lim              = lim                 = lim           lim             = α.
x→0      x         x→0 x · ln(1 + y)     y→0 ln(1 + y) x→0      x
                    (y→0)

   Ïðèìåð.   Ôóíêöèÿ f (x) = xα íåïðåðûâíà (ïðè x 6= 0, åñëè α < 0)
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðè x0 6= 0 èìååì
                             h³ x ´α      i           h³   x − x0 ´α   i
   lim (xα − xα
              0 ) = lim x0
                           α
                                      − 1 = lim xα  0   1+           −1 =
  x→x0              x→x0       x              x→x0           x0
                              ³ 0         ´α
                               1 + x−x
                                     x0
                                        0
                                             −1
                      lim xα0       x−x0        · x−x
                                                   x0 = 0
                                                      0
                     x→x0
                                     x0


Ëîêàëüíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
Òàê íàçûâàþò ñâîéñòâà, êîòîðûå îïèñûâàþò ïîâåäåíèå ôóíêöèè âáëèçè
îäíîé òî÷êè.
    Òåîðåìà 1. Åñëè f íåïðåðûâíà â x0 , òî ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü
Uδ (x0 ) (íå ïðîêîëîòàÿ!), â êîòîðîé f îãðàíè÷åíà.

         lim f (x) = f (x0 ) ⇒ ∃δ > 0 ∃C ∀x ∈ Uδ (x0 ) ⇒ |f (x)| 6 C.
        x→x0

    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïî îïðåäåëåíèþ íåïðåðûâíîñòè â òî÷êå x0
äëÿ ε = 1 íàéäåì òàêîå¡ δ > 0¢, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ Uδ (x0 ) áóäåò âûïîëíÿòüñÿ
ñîîòíîøåíèå f (x) ∈ U1 f (x0 ) . Îòêóäà âèäíî, ÷òî f (x0 )−1 < f (x) < f (x0 )+
1, òî åñòü ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà è åñëè âçÿòü C = max{|f (x0 )−1|, |f (x0 )+1|},
òî |f (x)| < C .
    ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

Страницы