Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ε > 0 N
n > N
¯
¯
¯
¡
1 +
1
n
¢
n
− e
¯
¯
¯
< ε
n
k
→ ∞ K k > K
n
k
> N
¯
¯
¯
¡
1 +
1
n
k
¢
n
k
− e
¯
¯
¯
< ε.
lim
x→+∞
³
1 +
1
x
´
x
= e
lim
x→−∞
³
1 +
1
x
´
x
= e
x
n
→ +∞ n
k
= [x
k
] x
k
n
k
6 x
k
< n
k
+ 1
1 +
1
n
k
+ 1
< 1 +
1
x
k
6 1 +
1
n
k
.
³
1 +
1
n
k
+ 1
´
n
k
<
³
1 +
1
x
k
´
x
k
6
³
1 +
1
n
k
´
n
k
+1
.
lim
k→∞
³
1 +
1
n
k
+ 1
´
n
k
= lim
k→∞
³
1 +
1
n
k
+ 1
´
n
k
+1
1
³
1 +
1
n
k
+1
´
= e
lim
k→∞
³
1 +
1
n
k
´
n
k
+1
= lim
k→∞
³
1 +
1
n
k
´
n
k
³
1 +
1
n
k
´
= e
lim
k→∞
¡
1+
1
x
k
¢
x
k
=
e
Ëåêöèÿ 13                                                              83


    îáùåì æå ñëó÷àå ñíà÷àëà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî
                                           ¯¡ ε >¢ 0 íàéäåì
                                                        ¯   òàêîå N ,
                                           ¯     1 n    ¯
÷òî ïðè âñåõ n > N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ¯ 1 + n − e¯ < ε è çàòåì
(â ñèëó nk → ∞), âûáåðåì òàêîå K , ÷òî ïðè âñåõ k > K èìååò ìåñòî
íåðàâåíñòâî nk > N . Òîãäà
                          ¯¡   1 ¢nk    ¯
                          ¯             ¯
                          ¯ 1+       − e¯ < ε.
                               nk
×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Òåîðåìà.    Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ïðåäåëüíûå ñîîòíîøåíèÿ :
                                ³   1 ´x
                            lim 1 +      =e
                           x→+∞     x
                                ³   1 ´x
                            lim 1 +      =e
                           x→−∞     x
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äîêàæåì ïåðâîå ðàâåíñòâî âîñïîëüçîâàâøèñü
îïðåäåëåíèåì ïðåäåëà ïî Ãåéíå. Äëÿ ýòîãî âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòü xn → +∞ è ïîëîæèì nk = [xk ] (öåëàÿ ÷àñòü îò xk ). Òîãäà
nk 6 xk < nk + 1, ïîýòîìó
                                1        1      1
                         1+          <1+    61+    .
                              nk + 1     xk     nk
Âñå ÷ëåíû ðàâåíñòâà áîëüøå 1, ïîýòîìó ïðè âîçâåäåíèè â áîëüøóþ ñòåïåíü
ìîãóò òîëüêî óâåëè÷èòüñÿ:
              ³          1 ´nk ³   1 ´x k ³   1 ´nk +1
                  1+          < 1+       6 1+          .
                       nk + 1      xk         nk
Âû÷èñëÿÿ ïðåäåë ñëåâà, ïî ëåììå áóäåì èìåòü
          ³          1 ´nk      ³      1 ´nk +1      1
       lim 1 +             = lim 1 +            ³               ´ =e
       k→∞         nk + 1   k→∞      nk + 1       1+      1
                                                        nk +1


Àíàëîãè÷íî ñïðàâà
                 ³    1 ´nk +1      ³    1 ´n k ³    1 ´
              lim 1 +          = lim 1 +          1+     =e
             k→∞      nk        k→∞      nk          nk
                                                            ¡      ¢x
Ïî òåîðåìå î ñæàòîé ïåðåìåííîé (äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé) lim 1+ x1k k =
                                                           k→∞
e. È ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà Ãåéíå, ïåðâîå ðàâåíñòâî äîêàçàíî.

Страницы