Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(a; b) [a; b]
a b f
f
sgn(x) =
|x|
x
0
lim
x→−0
|x|
x
= −1 6= lim
x→+0
|x|
x
= 1.
f(x) =
1
x
0
lim
x→+0
1
x
= +∞.
−∞
0
f(x) = sin
1
x
0
(a, b)
f [a; b]
(a; b)
lim
x→a+0
f(x) = f(a) lim
x→b−0
f(x) = f(b).
f(x) = x
n
(n ∈ N) R
lim
x→x
0
x
n
= lim
x→x
0
x
n
0
³
x
x
0
´
n
= lim
x→x
0
x
n
0
µ
1 +
³
x − x
0
x
0
´
n
= x
n
0
.
f(x) = ln x (0; +∞)
x
0
> 0
lim
x→x
0
ln x = lim
x→x
0
³
ln x
0
+ ln
x
x
0
´
= ln x
0
+ lim
x→x
0
ln
³
1 +
x − x
0
x
0
´
= ln x
0
.
0 6
¯
¯
¯
ln
³
1 +
x − x
0
x
0
´
¯
¯
¯
6
|x − x
0
|
x
0
−−−−→
x→x
0
0.
| ln(1 + x)| < |x|
Ëåêöèÿ 12                                                                     81


   Åñëè ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà èíòåðâàëå (a; b) èëè ïðîìåæóòêå [a; b], òî
êðàéíèå òî÷êè a è b íàçûâàþò òî÷êàìè ðàçðûâà, åñëè f â íèõ íå îïðåäåëåíà
èëè ñîîòâåòñòâóþùèå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû íå ñîâïàäàþò ñî çíà÷åíèåì
f â ýòèõ òî÷êàõ.
                                   |x|
   Ïðèìåðû. 1. Ôóíêöèÿ sgn(x) = x â òî÷êå 0 èìååò ðàçðûâ 1-ãî ðîäà
(íåóñòðàíèìûé). Òàê êàê
                                 |x|             |x|
                           lim       = −1 6= lim     = 1.
                          x→−0    x         x→+0  x
                           1
   2. Ôóíêöèÿ f (x) =      x   èìååò â òî÷êå 0 ðàçðûâ, òàê êàê
                                           1
                                     lim     = +∞.
                                    x→+0   x
Íåçàâèñèìî îò òîãî, êàêèì áóäåò ïðåäåë ñëåâà (à îí ðàâåí −∞) âèäèì, ÷òî
0  òî÷êà ðàçðûâà 2-ãî ðîäà.
   3. Ìû óæå âèäåëè, ÷òî ó ôóíêöèè f (x) = sin x1 â òî÷êå 0 íå ñóùåñòâóåò
ïðåäåëà íè ñïðàâà íè ñëåâà. Ïîýòîìó â ýòîé òî÷êå ðàçðûâ 2-ãî ðîäà.
   Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà èíòåðâàëå (a, b),
åñëè îíà íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå ýòîãî èíòåðâàëà.
   Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b], åñëè îíà íåïðå-
ðûâíà íà èíòåðâàëå (a; b), è
                     lim f (x) = f (a)      è     lim f (x) = f (b).
                   x→a+0                         x→b−0

(ïðåäåëû îäíîñòîðîííèå!)
   Ïðèìåðû. 1) Ôóíêöèÿ f (x) = xn (n ∈ N), íåïðåðûâíà íà R.
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.
                           ³ ´n          µ   ³ x − x ´¶n
               n          n x          n            0
         lim x = lim x0         = lim x0 1 +             = xn0 .
        x→x0       x→x0      x0  x→x0            x0
   2) Ôóíêöèÿ f (x) = ln x íåïðåðûâíà íà èíòåðâàëå (0; +∞).
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü x0 > 0, òîãäà èìååì
                    ³           x´                  ³    x − x0 ´
    lim ln x = lim ln x0 + ln       = ln x0 + lim ln 1 +          = ln x0 .
   x→x0        x→x0             x0           x→x0          x0
Òàê êàê ïîñëåäíèé ïðåäåë ðàâåí íóëþ â ñèëó îöåíêè1
                    ¯ ³     x − x0 ´¯¯ |x − x0 |
                    ¯
                0 6 ¯ln 1 +          ¯6          −−−−→ 0.
                              x0          x0      x→x0

  1 Ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà | ln(1 + x)| < |x|.

Страницы