Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ε U
ε
¡
f(x
0
)
¢
f(x
0
) δ
U
δ
(x
0
) x
0
x U
δ
(x
0
)
U
ε
¡
f(x
0
)
¢
f x
0
f ε f(x
0
)
δ x
0
∀ε > 0 ∃δ > 0 f
−1
¡
U
ε
(f(x
0
))
¢
⊃ U
δ
(x
0
).
lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
)
lim
x→x
0
f(x) = f( lim
x→x
0
x)
f x
0
f
x
0
lim
x→x
0
f(x) 6= f(x
0
)
f
x
0
1 f
x → x
0
f x
0
f
x
0
∃ lim
x→x
0
−0
f(x) = f(x
0
− 0) ∧ ∃ lim
x→x
0
+0
f(x) = f(x
0
+ 0)
f(x
0
− 0) 6= f(x
0
) ∨ f(x
0
+ 0) 6= f(x
0
)
lim
x→x
0
−0
f(x) = lim
x→x
0
+0
f(x) 6= f(x
0
)
2
x
0
x
0
∞
80                                                                     Êëåâ÷èõèí Þ.À

                                     ¡    ¢
ò.å. äëÿ ëþáîé ε-îêðåñòíîñòè Uε f (x0 ) òî÷êè f (x0 ) íàéäåòñÿ òàêàÿ δ -îê-
ðåñòíîñòü
   ¡      ¢ Uδ (x0 ) òî÷êè x0 , ÷òî îáðàçû âñåõ òî÷åê x èç Uδ (x0 ) ïîïàäàþò â
Uε f (x0 ) .
    Áîëåå êîðîòêî òî æå ñàìîå îçíà÷àåò:
      Ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â x0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðîîá-
      ðàç ïðè f ëþáîé ε-îêðåñòíîñòè òî÷êè f (x0 ) ñîäåðæèò íåêîòîðóþ
      δ -îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 :
                                     ¡            ¢
                   ∀ε > 0 ∃δ > 0 f −1 Uε (f (x0 )) ⊃ Uδ (x0 ).
     Çàìå÷àíèå.    Ðàâåíñòâî lim f (x) = f (x0 ) ÷àñòî èíòåðïðåòèðóþò, êàê
                                  x→x0
âîçìîæíîñòü ïåðåñòàíîâêè îïåðàöèé ïåðåõîäà ê ïðåäåëó è âû÷èñëåíèÿ
ôóíêöèè:
                        lim f (x) = f ( lim x)
                                x→x0              x→x0

Îñîáåííî ïîëåçíî ýòî èìåòü â âèäó ïðè ðàçëè÷íûõ çàìåíàõ ïåðåìåííîé
ó íåïðåðûâíîé ôóíêöèè (ñì. çàìå÷àíèå ê òåîðåìå î çàìåíå ïåðåìåííîé â
ïðåäåëå).
     Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f èìååò ðàçðûâ â òî÷êå x0 , åñëè
îíà â ýòîé òî÷êå íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé, òî åñòü f íå îïðåäåëåíà â òî÷êå
x0 , èëè lim f (x) 6= f (x0 ) ( ÷àñòíîñòè, ýòîãî ðàâåíñòâà íåò è åñòü ðàçðûâ,
        x→x0
êîãäà ïðåäåëà â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà íå ñóùåñòâóåò).
   Òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè f êëàññèôèöèðóþò â çàâèñèìîñòè îò åå ïîâå-
äåíèÿ âáëèçè ýòîé òî÷êè ñîãëàñíî ñëåäóþùåìó îïðåäåëåíèþ.
   Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî x0  òî÷êà ðàçðûâà 1-ãî ðîäà ôóíêöèè f ,
åñëè ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû ïðè x → x0 , íî õîòÿ áû
îäèí èç íèõ íå ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì f â òî÷êå x0 (â ÷àñòíîñòè, êîãäà f
íå îïðåäåëåíà â òî÷êå x0 )

           ∃    lim      f (x) = f (x0 − 0) ∧ ∃    lim      f (x) = f (x0 + 0)
               x→x0 −0                            x→x0 +0

                                           íî
                      f (x0 − 0) 6= f (x0 ) ∨ f (x0 + 0) 6= f (x0 )

   Êîãäà lim f (x) = lim f (x) 6= f (x0 ), ðàçðûâ (1-ãî ðîäà) íàçûâàþò
         x→x0 −0      x→x0 +0
óñòðàíèìûì.
   Òî÷êè ðàçðûâà íå ÿâëÿþùèåñÿ ðàçðûâàìè 1-ãî ðîäà, íàçûâàþò òî÷êà-
ìè ðàçðûâà 2-ãî ðîäà.
   Î÷åâèäíî, x0  òî÷êà ðàçðûâà 2-ãî ðîäà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
õîòÿ áû îäèí èç îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ â òî÷êå x0 íå ñóùåñòâóåò èëè
ðàâåí ∞.

Страницы