Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ε > 0 δ > 0 x
0
, x
00
δ x
0
|f(x
0
)−f(x
00
)| < ε
(x
n
)
x
n
−−−−→
n→∞
x
0
x
n
6= x
0
f(x
n
)
x
n
−−−−→
n→∞
x
0
x
0
n
−−−−→
n→∞
x
0
n x
n
6= x
0
x
0
n
6= x
0
y
n
=
(
x
k
, n = 2k
x
0
k
n = 2k + 1
x
0
f(y
n
) A
f(x
k
) f(y
n
)
A f(x
0
k
)
A lim
n→∞
f(x
n
) = lim
n→∞
f(x
0
n
)
f x
0
∃ lim
x→∞
f(x) 6= ∞ ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x
0
, x
00
∈
◦
U
δ
(x
0
) ⇒ |f(x
0
) −f(x
00
)| < ε.
(⇒) lim
x→x
0
f(x) = A
ε > 0 δ > 0 x ∈
◦
U
δ
(x
0
)
|f(x) − A| < ε/2 x
0
x
00
◦
U
δ
(x
0
)
|f(x
0
) −f(x
00
)| 6 |f(x
0
) −A|+ |A − f(x
00
)| < ε/2 + ε/2 = ε.
(⇐)
(x
n
)
x
n
6= x
0
x
n
−−−−→
n→∞
x
0
¡
f(x
n
)
¢
ε > 0 δ > 0
x
0
, x
00
∈
◦
U
δ
(x
0
) |f(x
0
) −
f(x
00
)| < ε N n > N x
n
∈
◦
U
δ
(x
0
)
x
n+p
∈
◦
U
δ
(x
0
) |f(x
n
) − f(x
n+p
)| < ε
78                                                                    Êëåâ÷èõèí Þ.À


(äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå δ > 0, ÷òî ïðè ëþáûõ x0 , x00 èç ïðîêî-
ëîòîé δ -îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |f (x0 ) − f (x00 )| < ε)
   Ëåììà Åñëè èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn ) òà-
êîé, ÷òî xn −−−−→ x0 è xn 6= x0 ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
                 n→∞
çíà÷åíèé ôóíêöèè f (xn ) ñõîäèòñÿ, òî âñå òàêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñõî-
äÿòñÿ ê îäíîìó è òîìó æå ïðåäåëó.
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü xn −−−−→ x0 è x0n −−−−→ x0 è ïðè âñåõ
                                                 n→∞                n→∞
                        0
n èìååì ( xn 6= x0 è xn 6= x0 . Òîãäà ïåðåìåøàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
         xk , n = 2k
yn =                      òîæå ñõîäèòñÿ ê x0 , ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
         x0k n = 2k + 1
f (yn ) èìååò ïðåäåë, êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç A. Íî ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü f (xk ) ÿâëÿåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ f (yn ) ñ ÷åòíûìè íîìåðàìè,
ïîýòîìó äîëæíà èìåòü òîò æå ïðåäåë A. Òî÷íî òàê æå f (x0k ) ÿâëÿåòñÿ ïîä-
ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè è äîëæíà òîæå ñõîäèòüñÿ ê
A, òî åñòü lim f (xn ) = lim f (x0n ).
             n→∞          n→∞
    ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
    Òåîðåìà (êðèòåðèé Êîøè). Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ êîíå÷íîãî ïðåäåëà ó
ôóíêöèè f â òî÷êå x0 íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â ýòîé òî÷êå
âûïîëíÿëîñü óñëîâèå Êîøè.
                                                      ◦
  ∃ lim f (x) 6= ∞ ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x0 , x00 ∈ U δ (x0 ) ⇒ |f (x0 ) − f (x00 )| < ε.
     x→∞

     Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. (⇒) Ïðåäïîëîæèì lim f (x) = A. Òîãäà ïî
                                                             x→x0
                                                                          ◦
ïðîèçâîëüíîìó ε > 0 âûáåðåì δ > 0 òàê, ÷òîáû ïðè âñåõ x ∈ U δ (x0 ) âûïîë-
íÿëîñü íåðàâåíñòâî |f (x) − A| < ε/2. Åñëè òåïåðü x0 è x00  ïðîèçâîëüíûå
                                                     ◦
ýëåìåíòû èç ýòîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè U δ (x0 ), òî ñïðàâåäëèâà îöåíêà
           |f (x0 ) − f (x00 )| 6 |f (x0 ) − A| + |A − f (x00 )| < ε/2 + ε/2 = ε.
È íåîáõîäèìîñòü äîêàçàíà.
   (⇐) Íàì äàíî, ÷òî âûïîëíåíî óñëîâèå Êîøè. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñóùå-
ñòâîâàíèÿ ïðåäåëà âîñïîëüçóåìñÿ îïðåäåëåíèåì Ãåéíå. Ïóñòü (xn )  ïðî-
èçâîëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñî ñâîéñòâàìè xn 6= x0 è xn −−−−→ x0 . Ðàñ-
                                             ¡       ¢    n→∞
ñìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè f (xn ) .
   Îíà ôóíäàìåíòàëüíà, òàê êàê äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñíà÷àëà íàéäåì δ > 0
                                        ◦
òàê, ÷òîáû ïðè ëþáûõ x0 , x00 ∈ U δ (x0 ) âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî |f (x0 ) −
                                                                                    ◦
f (x00 )| < ε, çàòåì ïîäáåðåì N òàê, ÷òîáû ïðè âñåõ n > N èìåëè xn ∈ U δ (x0 ),
                       ◦
íî òîãäà è xn+p ∈ U δ (x0 ), çíà÷èò, |f (xn ) − f (xn+p )| < ε.

Страницы