Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

[a; b]
f [a, b] x
0
∈ (a; b)
lim
x→x
0
−0
f(x) = f(x
0
− 0)
lim
x→x
0
+0
f
(
x
) =
f
(
x
0
+ 0) f
sup
x∈[a;x
0
)
f(x) = f(x
0
− 0) 6 f(x
0
) 6 f(x
0
+ 0) = inf
(x
0
;b]
f(x),
a b
lim
x→a+0
f(x) = f(a + 0) > f(a) lim
x→b−0
f(x) = f(b − 0) 6 f(b)
f
x < x
0
f(x) 6 f(x
0
) sup
x<x
0
f(x) 6 f(x
0
)
f(x
0
)
sup
x<x
0
f(x) = A lim
x→x
0
−0
f(x) = A
ε > 0
x
1
< x
0
A−ε < f(x
1
) 6 A f x ∈ (x
1
; x
0
)
A − ε < f(x
1
) 6 f(x) 6 A f(x) ∈ U
ε
(A),
f
x
0
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x
0
, x
00
:
(
0 < |x
0
− x
0
| < δ
0 < |x
00
− x
0
| < δ
⇒ |f (x
0
) − f(x
00
)| < ε
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x
0
, x
00
∈
◦
U
δ
(x
0
) ⇒ |f(x
0
) − f(x
00
)| < ε.
Ëåêöèÿ 11                                                                                77


   Åñëè ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò (èëè óáûâàåò) íà âñåì ïðîìåæóòêå [a; b], òî
ãîâîðÿò, ÷òî îíà ìîíîòîííà íà ýòîì ïðîìåæóòêå.
   Òåîðåìà. Åñëè f ìîíîòîííà íà [a, b], òî â êàæäîé òî÷êå x0 ∈ (a; b)
ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû lim f (x) = f (x0 − 0) è
                                                            x→x0 −0
 lim      f (x) = f (x0 + 0), ïðè÷åì åñëè f âîçðàñòàåò, òî
x→x0 +0

              sup f (x) = f (x0 − 0) 6 f (x0 ) 6 f (x0 + 0) = inf f (x),
            x∈[a;x0 )                                                 (x0 ;b]


à åñëè óáûâàåò, òî íåðàâåíñòâà ïðîòèâîïîëîæíûå.
    êðàéíèõ òî÷êàõ a è b ñóùåñòâóþò ñîîòâåòñòâóþùèå îäíîñòîðîí-
íèå ïðåäåëû lim f (x) = f (a + 0) > f (a) è lim f (x) = f (b − 0) 6 f (b)
                x→a+0                                  x→b−0
(äëÿ âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè).
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f âîçðàñòàåò. Òîãäà ïðè
ëþáûõ x < x0 èìååì f (x) 6 f (x0 ), ïîýòîìó sup f (x) 6 f (x0 ) (íàèìåíüøàÿ
                                                     x 0 íàéäåì òàêîå ÷èñëî
x1 < x0 , ÷òî A−ε < f (x1 ) 6 A. Â ñèëó âîçðàñòàíèÿ f äëÿ ëþáûõ x ∈ (x1 ; x0 )
áóäåì èìåòü

               A − ε < f (x1 ) 6 f (x) 6 A      òî åñòü f (x) ∈ Uε (A),

÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà ñïðàâà äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî è îñòàåòñÿ äëÿ
ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû.

Êðèòåðèé Êîøè äëÿ ôóíêöèè
Îïðåäåëåíèå.            Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Êîøè â
òî÷êå x0 , åñëè
                              (
                            0  0 < |x0 − x0 | < δ
                                00
       ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x , x :                               ⇒ |f (x0 ) − f (x00 )| < ε
                               0 < |x00 − x0 | < δ

Èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè, ýòî óñëîâèå ìîæíî çàïèñàòü
íåìíîãî êîðî÷å:
                                          ◦
              ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x0 , x00 ∈ U δ (x0 ) ⇒ |f (x0 ) − f (x00 )| < ε.

Страницы