Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

¡
f(x
n
)
¢
A
(x
n
)
f A
f(x) =
sin x x
0
x
0
, x
00
∈
◦
U
δ
(x
0
)
|sin x
0
− sin x
00
| =
¯
¯
¯
2 sin
x
0
− x
00
2
cos
x
0
+ x
00
2
¯
¯
¯
6
¯
¯
¯
2 sin
x
0
− x
00
2
¯
¯
¯
6 |x
0
− x
00
| 6 |x
0
− x
0
| + |x
0
− x
00
| < 2δ = ε
f x
0
∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x
0
, x
00
∈
◦
U
δ
(x
0
) ∧ |f(x
0
) − f(x
00
)| > ε
lim
x→0
sin
1
x
x
0
=
1
2πn
x
00
=
1
2π n+
π
2
n |f(x
0
) − f(x
00
)| = 1
f x
0
lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
).
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x : |x − x
0
| < δ ⇒ |f(x) − f(x
0
)| < ε
x
x
0
x
0
|f(x) − f(x
0
)| < ε (0 < ε)
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ U
δ
(x
0
) ⇒ f(x) ∈ U
ε
¡
f(x
0
)
¢
,
Ëåêöèÿ 12                                                                           79

                                                  ¡     ¢
   Â ñèëó ôóíäàìåíòàëüíîñòè, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü f (xn ) ñõîäèòñÿ, ñêà-
æåì, ê ÷èñëó A. Ïî ïðåäûäóùåé ëåììå ýòîò ïðåäåë íå çàâèñèò îò âûáîðà
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn ), ïîýòîìó ïî îïðåäåëåíèþ Ãåéíå ïðåäåë ôóíêöèè
f ðàâåí ýòîìó ÷èñëó A. ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Ïðèìåðû. 1. Ïîêàæåì ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ Êîøè, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) =
                                                                            ◦
sin x èìååò ïðåäåë â òî÷êå x0 , äëÿ ýòîãî, âûáðàâ x0 , x00 ∈ U δ (x0 ), ìîæåì
íàïèñàòü îöåíêó:
                               ¯      x0 − x00     x0 + x00 ¯¯ ¯¯       x0 − x00 ¯¯
                               ¯
        | sin x0 − sin x00 | = ¯2 sin          cos           ¯ 6 ¯2 sin           ¯ (5)
                                         2            2                    2
                        0     00      0                 00
                   6 |x − x | 6 |x − x0 | + |x0 − x | < 2δ = ε                      (6)
Îòêóäà âèäíî, ÷òî äëÿ f âûïîëíåíî óñëîâèå Êîøè â òî÷êå x0 , çíà÷èò, îíà
èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë â ýòîé òî÷êå. ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Î÷åíü ÷àñòî êðèòåðèé Êîøè ïðèìåíÿþò, êîãäà íàäî äîêàçàòü, ÷òî ïðå-
äåëà íå ñóùåñòâóåò. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî âûïîëíåíî îòðè-
öàíèå óñëîâèÿ Êîøè:
                                              ◦
                 ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x0 , x00 ∈ U δ (x0 ) ∧ |f (x0 ) − f (x00 )| > ε
   2. Äîêàæåì, ÷òî lim sin x1 íå ñóùåñòâóåò. Äëÿ ýòîãî âûáåðåì x0 =                1
                                                                                  2πn ,
                           x→0
          1
x00 =   2πn+ π   . Òîãäà äëÿ ëþáûõ n áóäåì èìåòü |f (x0 ) − f (x00 )| = 1.
             2




Ëåêöèÿ 12.
Íåïðåðûâíîñòü
Îïðåäåëåíèå.   Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå x0 , åñëè îíà
îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè è
                                     lim f (x) = f (x0 ).
                                    x→x0

   Áîëåå ïîäðîáíî â àëãåáðàè÷åñêèõ òåðìèíàõ ýòî îçíà÷àåò:
                 ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x : |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε
   Îòìåòèì, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå x ìîæíî âûáèðàòü ëþáîå èç ïîëíîé, à
íå ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , ò.ê. â ñàìîé òî÷êå x0 íóæíîå íåðà-
âåíñòâî |f (x) − f (x0 )| < ε âûïîëíÿåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè (0 < ε).
    ãåîìåòðè÷åñêèõ òåðìèíàõ ýòî îïðåäåëåíèå âûãëÿäèò òàê:
                                                       ¡       ¢
               ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Uδ (x0 ) ⇒ f (x) ∈ Uε f (x0 ) ,

Страницы