Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

lim
x→0
sin ax
x
(a 6= 0)
y = ax lim
x→0
ax = 0 x 6= 0
ax = y 6= 0
lim
x→0
sin ax
x
= lim
x→0
a sin ax
ax
= lim
y →0
a sin y
y
= a.
lim
x→0
arcsin x
x
y = arcsin x x → 0 y = arcsin x → 0
y 6= 0 x 6= 0 x = sin y
lim
x→0
arcsin x
x
= lim
y →0
y
sin y
= 1.
f
[a; b] f %
[a;b]
f ↑ [a; b] x
1
< x
2
[a; b]
f(x
1
) 6 f(x
2
) f(x
1
) < f(x
2
)
f %
[a;b]
def
⇔ ∀x
1
, x
2
∈ [a; b] x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) 6 f(x
2
).
f
[a; b] f &
[a;b]
f ↓ [a; b]
x
1
< x
2
[a; b] f(x
1
) > f(x
2
)
f(x
1
) > f(x
2
)
f &
[a;b]
def
⇔ ∀x
1
, x
2
∈ [a; b] x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) > f(x
2
).
76                                                                          Êëåâ÷èõèí Þ.À


                                                       sin ax
     Ïðèìåðû.   1. Âû÷èñëèòü ïðåäåë lim                   x     (a 6= 0).
                                                 x→0
     Ð å ø å í è å. Îáîçíà÷èì y = ax. Òîãäà lim ax = 0 è ïðè x 6= 0 èìååì
                                                           x→0
ax = y 6= 0, òî åñòü âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ ïðåäûäóùåé òåîðåìû, ïîýòîìó
                       sin ax       a sin ax       a sin y
                 lim          = lim          = lim         = a.
                 x→0      x     x→0    ax      y→0    y
                                    arcsin x
     2. Âû÷èñëèòü ïðåäåë lim           x     .
                              x→0
  Ð å ø å í è å. Îáîçíà÷èì y = arcsin x. Òîãäà ïðè x → 0, y = arcsin x → 0
èy=
  6 0 ïðè x 6= 0. Ïîýòîìó (ó÷èòûâàÿ, ÷òî x = sin y )
                                   arcsin x         y
                             lim            = lim       = 1.
                             x→0      x       y→0 sin y




Ëåêöèÿ 11
Òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðåäåëîâ î÷åíü âàæíîé ÿâëÿåòñÿ èíôîðìàöèÿ î òîì, ñó-
ùåñòâóåò èëè íåò èñêîìûé ïðåäåë. Áûâàþò ñëó÷àè, êîãäà íà ýòîò âîïðîñ
ìîæíî îòâåòèòü íå âû÷èñëÿÿ ñàìîãî ïðåäåëà. Çäåñü ìû èçó÷èì òàêèå ñëó-
÷àè.
   Ñíà÷àëà íàïîìíèì îïðåäåëåíèå.
   Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ âîçðàñòàþùåé (ñîîòâåòñòâåííî
ñòðîãî âîçðàñòàþùåé ) íà îòðåçêå [a; b] (â êîíñïåêòàõ ïèøóò f %[a;b] èëè
f ↑ [a; b]), êîãäà ïðè ëþáûõ x1 < x2 èç îòðåçêà [a; b] âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåí-
ñòâî f (x1 ) 6 f (x2 ) (ñîîòâåòñòâåííî f (x1 ) < f (x2 )):
                       def
             f %[a;b] ⇔ ∀x1 , x2 ∈ [a; b] x1 < x2 ⇒ f (x1 ) 6 f (x2 ).

   Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ óáûâàþùåé (ñîîòâåòñòâåííî ñòðîãî óáûâàþùåé )
íà îòðåçêå [a; b] (â êîíñïåêòàõ ïèøóò f &[a;b] èëè f ↓ [a; b]), êîãäà ïðè
ëþáûõ x1 < x2 èç îòðåçêà [a; b] âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x1 ) > f (x2 )
(ñîîòâåòñòâåííî f (x1 ) > f (x2 )):
                       def
             f &[a;b] ⇔ ∀x1 , x2 ∈ [a; b] x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ).

   Èíà÷å ãîâîðÿ, ïðèìåíåíèå âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè ê îáåèì ÷àñòÿì íåðà-
âåíñòâà ñîõðàíÿåò ýòî íåðàâåíñòâî, à óáûâàþùåé  ìåíÿåò çíàê íåðàâåí-
ñòâà íà ïðîòèâîïîëîæíûé.

Страницы