Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

n f(x
n
) 6 g(x
n
)
lim
n→∞
f(x
n
) = a lim
n→∞
g(x
n
) = b
a 6 b
f g
x
0
lim
x→x
0
¡
f(x) ± g(x)
¢
= lim
x→x
0
f(x) ± lim
x→x
0
g(x);
lim
x→x
0
¡
f(x) · g(x)
¢
= lim
x→x
0
f(x) · lim
x→x
0
g(x);
lim
x→x
0
f(x)
g(x)
=
lim
x→x
0
f(x)
lim
x→x
0
g(x)
.
lim
x→x
0
g(x) 6= 0
lim
x→x
0
f(x) = A lim
x→x
0
g(x) = B
ε > 0 δ
1
> 0 x
0 < |x − x
0
| < δ
1
|f(x) − A| < ε/2
δ
2
> 0 0 < |x−x
0
| < δ
2
|g(x) − B| < ε/2 δ = min{δ
1
, δ
2
} > 0
x 0 < |x − x
0
| < δ
|
¡
f(x) + g(x)
¢
− (A + B)| = |
¡
f(x) − A
¢
+
¡
g(x) − B
¢
| 6
6 |f(x) − A| + |g(x) − B| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
lim
x→x
0
f(x) = A lim
x→x
0
g(x) = B
δ
0
|g(x)| 6 M g
δ
1
> 0 0 < |x −x
0
| < δ
1
|f(x)−A| <
ε
2M
δ
2
> 0 0 < |x−x
0
| <
δ
2
|g(x) − B| <
ε
2|A|
A 6= 0
74                                                             Êëåâ÷èõèí Þ.À


n ñâÿçàíû íåðàâåíñòâîì f (xn ) 6 g(xn ) è, ïî îïðåäåëåíèþ Ãåéíå, èìåþò
ïðåäåëû lim f (xn ) = a è lim g(xn ) = b. Ïî ñîîòâåòñòâóþùåé òåîðåìå äëÿ
         n→∞               n→∞
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé a 6 b. ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Òåîðåìà (îá àðèôìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ïðåäåëà) Åñëè ôóíêöèè f è g
èìåþò â òî÷êå x0 êîíå÷íûé ïðåäåë, òî ñóùåñòâóþò ïðåäåëû, íàïèñàííûå
ñëåâà, è ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà :
                      ¡            ¢
                 lim f (x) ± g(x) = lim f (x) ± lim g(x);
                x→x0                 x→x0          x→x0
                        ¡          ¢
                   lim f (x) · g(x) = lim f (x) · lim g(x);
                       x→x0                 x→x0        x→x0
                                               lim f (x)
                                      f (x)   x→x0
                               lim          =            .
                               x→x0   g(x)     lim g(x)
                                              x→x0

Ïðè÷åì, ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà ñëåâà â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå (è ñàìî ðà-
âåíñòâî) ìîæíî ãàðàíòèðîâàòü â îáùåì ñëó÷àå òîëüêî ïðè äîïîëíèòåëüíîì
óñëîâèè lim g(x) 6= 0.
           x→x0
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñ ïîìîùüþ îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà Ãåéíå âñå
äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî ñâåñòè ê ïðèìåíåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ òåîðåì äëÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé1 , íî ìû äîêàæåì ýòî ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì ïðåäå-
ëà Êîøè, ÷òîáû ïðîäåìîíñòðèðîâàòü êàê îíî ðàáîòàåò.
   1) Ïóñòü lim f (x) = A è lim g(x) = B . Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà äëÿ
                x→x0              x→x0
ïðîèçâîëüíîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå δ1 > 0, ÷òî ïðè x, óäîâëåòâîðÿþùèõ
íåðàâåíñòâàì 0 < |x − x0 | < δ1 , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |f (x) − A| < ε/2.
Òî÷íî òàê æå íàéäåòñÿ òàêîå δ2 > 0, ÷òî ïðè 0 < |x − x0 | < δ2 , âûïîëíÿåòñÿ
íåðàâåíñòâî |g(x) − B| < ε/2. Âûáðàâ δ = min{δ1 , δ2 } > 0 âèäèì, ÷òî ïðè
x, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì 0 < |x − x0 | < δ ìîæåì íàïèñàòü
           ¡            ¢                 ¡      ¢ ¡           ¢
          | f (x) + g(x) − (A + B)| = | f (x) − A + g(x) − B | 6
                                                ε ε
                    6 |f (x) − A| + |g(x) − B| < + = ε.
                                                2 2
è ïåðâîå ðàâåíñòâî äîêàçàíî.
   2) Ïóñòü îïÿòü lim f (x) = A è lim g(x) = B . Íàéäåì ñíà÷àëà ïðîêî-
                        x→x0               x→x0
ëîòóþ δ0 -îêðåñòíîñòü, ãäå |g(x)| 6 M (ýòî ìîæíî ñäåëàòü, òàê êàê g èìååò
êîíå÷íûé ïðåäåë). Äàëåå, ïîäáåðåì δ1 > 0 òàê, ÷òîáû ïðè 0 < |x − x0 | < δ1
                                        ε
âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî |f (x)−A| < 2M    è δ2 > 0, ÷òîáû ïðè 0 < |x−x0 | <
                                              ε
δ2 âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî |g(x) − B| < 2|A|     (åñëè A 6= 0). Òîãäà, ïðè
     1 Ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîäåëàòü â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ

Страницы