Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

lim
x→x
0
g(x) = b 6= 0 ⇒ ∃δ > 0 ∃M ∀x ∈
◦
U
δ
(x
0
) ⇒
¯
¯
¯
1
g(x)
¯
¯
¯
6 M.
ε =
|b|
2
δ > 0 x ∈
◦
U
δ
(x
0
)
|g(x) −b| <
|b|
2
¯
¯
|g(x)|−|b|
¯
¯
< |g(x) −b| |b|−|g(x)| <
|b|
2
|g(x)| >
|b|
2
x ∈
◦
U
δ
(x
0
)
¯
¯
¯
1
g(x)
¯
¯
¯
<
1
|b|/2
=
2
|b|
= M.
x
0
g(x) 6 f(x) 6 h(x)
lim
x→x
0
g(x) = lim
x→x
0
h(x) = a f x
x
0
a
∃δ > 0 : ∀x ∈
◦
U
δ
(x
0
) ⇒ g(x) 6 f(x) 6 h(x) ∧ lim
x→x
0
g(x) = lim
x→x
0
h(x) = a ⇒
⇒ ∃ lim
x→x
0
f(x) = a.
(x
n
) ∀n x
n
6= x
0
x
n
−−−−→
n→∞
x
0
¡
f(x
n
)
¢ ¡
g(x
n
)
¢ ¡
h(x
n
)
¢
∀n : g(x
n
) 6 f(x
n
) 6 h(x
n
) lim
n→∞
g(x
n
) = lim
n→∞
h(x
n
) = a.
lim
n→∞
f(x
n
) = a
(x
n
)
lim
x→x
0
f(x) = a
lim
x→0
sin x
x
= 1.
72                                                                  Êëåâ÷èõèí Þ.À


îãðàíè÷åíà:
                                              ◦           ¯ 1 ¯
                                                          ¯      ¯
           lim g(x) = b 6= 0 ⇒ ∃δ > 0 ∃M ∀x ∈ U δ (x0 ) ⇒ ¯      ¯ 6 M.
          x→x0                                              g(x)
                                                                       |b|
     Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû âîçüìåì ε =        2    è äëÿ íåãî
                                                  ◦
âûáåðåì δ > 0 òàê, ÷òîáû ïðè âñåõ x ∈ U δ (x0 ) âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî
                    ¯            ¯
|g(x) − b| < |b|    ¯            ¯                                    |b|
              2 . Íî |g(x)| − |b| < |g(x) − b|, îòêóäà |b| − |g(x)| < 2 , çíà÷èò,
          |b|
|g(x)| > 2 . Ýòî ïîçâîëÿåò íàïèñàòü ñëåäóþùóþ îöåíêó âåðíóþ ïðè âñåõ
      ◦
x ∈ U δ (x0 ):
                       ¯ 1 ¯       1      2
                       ¯      ¯
                       ¯      ¯<       =     = M.
                         g(x)    |b|/2   |b|
   ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Òåîðåìà (î ñæàòîé ïåðåìåííîé). Ïóñòü èìååòñÿ ïðîêîëîòàÿ îêðåñò-
íîñòü òî÷êè x0 , â êîòîðîé âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà g(x) 6 f (x) 6 h(x).
Åñëè ïðè ýòîì lim g(x) = lim h(x) = a, òî òîãäà f èìååò ïðåäåë ïðè x
                      x→x0         x→x0
ñòðåìÿùåìñÿ ê x0 òîæå ðàâíûé a:
                  ◦
 ∃δ > 0 : ∀x ∈ U δ (x0 ) ⇒ g(x) 6 f (x) 6 h(x) ∧ lim g(x) = lim h(x) = a ⇒
                                                       x→x0         x→x0

                                   ⇒ ∃ lim f (x) = a.
                                          x→x0

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðèìåíèì äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îïðåäåëåíèå
ïðåäåëà ôóíêöèè ïî Ãåéíå. Äëÿ ýòîãî âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü (xn ) ñî ñâîéñòâàìè: ∀n xn 6= x0 è xn −−−−→ x0 . Ðàññìîòðèì òðè
                                ¡     ¢ ¡     ¢ n→∞
                                                  ¡      ¢
÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè f (xn ) , g(xn ) è h(xn ) . Ñîãëàñíî óñëî-
âèÿì òåîðåìû
          ∀n : g(xn ) 6 f (xn ) 6 h(xn ) è       lim g(xn ) = lim h(xn ) = a.
                                                 n→∞          n→∞

Òî åñòü âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû î ñæàòîé ïåðåìåííîé äëÿ ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòåé. Çíà÷èò, lim f (xn ) = a. Ïîñêîëüêó ýòî äîêàçàíî äëÿ ëþáîé
                             n→∞
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn ) ñ óêàçàííûìè âûøå ñâîéñòâàìè, ñîãëàñíî îïðå-
äåëåíèþ ïî Ãåéíå lim f (x) = a.
                        x→x0
   ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
    êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ äîêàçàííîé òåîðåìû ïðèâåäåì
   Ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë. Òàê íàçûâàþò ñëåäóþùåå ïðåäåëü-
íîå ñîîòíîøåíèå
                                 sin x
                             lim       = 1.
                            x→0 x

Страницы