Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

-
6
L
L
L
L
¡
¡
¡
¡
¡
¡
x
y
O A
B D
4OAB OAB
4OAD x O
0 < x <
π
2
S
4OAB
< S
OAB
< S
4OAD
.
1
2
sin x <
1
2
x <
1
2
tg x.
1
2
sin x > 0 (0 < x <
π
2
)
1 <
x
sin x
<
1
cos x
.
cos x <
sin x
x
< 1.
−
π
2
< x < 0
x → 0
◦
U
δ
(x
0
) f(x) 6 g(x)
lim
x→x
0
f(x) = a lim
x→x
0
g(x) = b a 6 b lim
x→x
0
f(x) 6
lim
x→x
0
g(x)
(x
n
) x
n
6= x
0
x
n
−−−−→
n→∞
x
0
x
n
∈
◦
U
δ
(x
0
)
¡
f(x
n
)
¢ ¡
g(x
n
)
¢
Ëåêöèÿ 10                                                                       73


   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïîñòðîèì íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè êðóã
       y                 åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â 0 è ðàññìîòðèì
      6           ¡      òðåóãîëüíèê 4OAB , ñåêòîð OAB è òðåóãîëüíèê
             B ¡D        4OAD. Êîãäà óãîë x ïðè âåðøèíå O ýòèõ ôèãóð
              ¡
           ¡ LL          íàõîäèòñÿ  â èíòåðâàëå 0 < x < π2 , î÷åâèäíî, èõ
         ¡     L         ïëîùàäè ñâÿçàíû íåðàâåíñòâàìè
      ¡          L-
    O          A x                  S4OAB < SOAB < S4OAD .

Âû÷èñëÿÿ ýòè ïëîùàäè, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâà
                                 1        1   1
                                   sin x < x < tg x.
                                 2        2   2
                             1                          π
Äåëÿ ýòè íåðàâåíñòâà íà      2   sin x > 0 (0 < x <     2 ),   ïîëó÷èì

                                            x       1
                                     1<         <       .
                                          sin x   cos x
Çíà÷èò, äëÿ îáðàòíûõ âåëè÷èí âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
                                               sin x
                                     cos x <         < 1.
                                                 x
Çàìåòèì, ÷òî âñå âõîäÿùèå â íåðàâåíñòâî ôóíêöèè ÷åòíûå. Ïîýòîìó îíî
îñòàåòñÿ âåðíûì è ïðè − π2 < x < 0. Ïåðåõîäÿ â ýòîì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó
ïðè x → 0, ïî òåîðåìå ñ ñæàòîé ïåðåìåííîé ïîëó÷àåì òðåáóåìûé ðåçóëüòàò.

   Òåîðåìà    (î ïåðåõîäå ê ïðåäåëó â íåðàâåíñòâàõ) Åñëè â íåêîòîðîé
                                 ◦
ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè U δ (x0 ) âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî f (x) 6 g(x) è ñó-
ùåñòâóþò ïðåäåëû lim f (x) = a lim g(x) = b, òî a 6 b (ò.å. lim f (x) 6
                      x→x0                  x→x0                         x→x0
lim g(x))
x→x0
   Ôàêòè÷åñêè òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî â íåðàâåíñòâàõ ìîæíî ïåðåõîäèòü
ê ïðåäåëàì, ïðè ýòîì ýòè íåðàâåíñòâà ñîõðàíÿþòñÿ, 1 ðàçóìååòñÿ, êîãäà
ñîîòâåòñòâóþùèå ïðåäåëû ñóùåñòâóþò.
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðèìåíèì îïðåäåëåíèå ïðåäåëà Ãåéíå. Äëÿ ýòî-
ãî âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn ) ñî ñâîéñòâàìè: xn 6= x0
                                                                  ◦
è xn −−−−→ x0 (î÷åâèäíî, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî xn ∈ U δ (x0 )). Ñîîòâåòñòâó-
      n→∞                                   ¡     ¢ ¡          ¢
þùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çíà÷åíèé ôóíêöèé f (xn ) è g(xn ) ïðè âñåõ
  1 Ñòðîãèå íåðàâåíñòâà ìîãóò ñòàòü íåñòðîãèìè

Страницы