Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

lim
x→x
0
f(x) = ∞
def
⇔ ∀E > 0 ∃δ > 0 ∀x : 0 < |x − x
0
| < δ ⇒ |f(x)| > E.
lim
x→x
0
f(x) = +∞
def
⇔ ∀E > 0 ∃δ > 0 ∀x : 0 < |x − x
0
| < δ ⇒ f(x) > E.
lim
x→x
0
f(x) = −∞
def
⇔ ∀E > 0 ∃δ > 0 ∀x : 0 < |x − x
0
| < δ ⇒ f(x) < −E.
lim
x→∞
f(x) = a
def
⇔ ∀ε > 0 ∃∆ > 0 ∀x : |x| > ∆ ⇒ |f(x) − a| < ε.
lim
x→+∞
f(x) = a
def
⇔ ∀ε > 0 ∃∆ > 0 ∀x : x > ∆ ⇒ |f(x) − a| < ε.
lim
x→−∞
f(x) = a
def
⇔ ∀ε > 0 ∃∆ > 0 ∀x : x < −∆ ⇒ |f(x) − a| < ε.
f x
0
lim
x→x
0
f(x) = a 6= ∞ ⇒ ∃
◦
U
δ
(x
0
), f
ε = 1 δ
x ∈
◦
U
δ
(x
0
) |f(x) −a| < 1 x
a −1 < f(x) < a + 1
f x
0
x
0
lim
x→x
0
f(x) = a > 0 ⇒ ∃δ > 0 ∀x ∈
◦
U
δ
(x
0
) ⇒ f(x) > 0
ε = a(> 0)
δ > 0 x ∈
◦
U
δ
(x
0
)
|f(x) − a| < ε = a
0 = a − a < f(x) < a + a ⇒ 0 < f(x) < 2a.
g x
0
x
0
1
g(x)
Ëåêöèÿ 10                                                                  71


   Îïðåäåëåíèÿ.

                         def
     lim f (x) = ∞ ⇔ ∀E > 0 ∃δ > 0 ∀x : 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x)| > E.
    x→x0
                         def
   lim f (x) = +∞ ⇔ ∀E > 0 ∃δ > 0 ∀x : 0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) > E.
  x→x0
                         def
   lim f (x) = −∞ ⇔ ∀E > 0 ∃δ > 0 ∀x : 0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) < −E.
  x→x0
                         def
        lim f (x) = a ⇔ ∀ε > 0 ∃∆ > 0 ∀x : |x| > ∆ ⇒ |f (x) − a| < ε.
        x→∞
                         def
        lim f (x) = a ⇔ ∀ε > 0 ∃∆ > 0 ∀x : x > ∆ ⇒ |f (x) − a| < ε.
    x→+∞
                         def
        lim f (x) = a ⇔ ∀ε > 0 ∃∆ > 0 ∀x : x < −∆ ⇒ |f (x) − a| < ε.
    x→−∞


Ñâîéñòâà ïðåäåëîâ
Òåîðåìà. Åñëè ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå x0 êîíå÷íûé ïðåäåë, òî îíà
îãðàíè÷åíà â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè :
                                       ◦
              lim f (x) = a 6= ∞ ⇒ ∃U δ (x0 ), â êîòîðîé f îãðàíè÷åíà
            x→x0

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëÿ ε = 1 âûáåðåì δ òàê, ÷òîáû ïðè âñåõ
    ◦
x ∈ U δ (x0 ) âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî |f (x) − a| < 1. Íî òîãäà ïðè âñåõ x èç
ýòîé îêðåñòíîñòè a − 1 < f (x) < a + 1, òî åñòü ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà. ×òî è
òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Òåîðåìà. Åñëè ïðåäåë ôóíêöèè f â òî÷êå x0 ñòðîãî áîëüøå íóëÿ, òî è
ñàìà ôóíêöèÿ ñòðîãî áîëüøå íóëÿ â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè
òî÷êè x0 :
                                                   ◦
                lim f (x) = a > 0 ⇒ ∃δ > 0 ∀x ∈ U δ (x0 ) ⇒ f (x) > 0
               x→x0

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû âîçüìåì ε = a(> 0).
                                                             ◦
Äëÿ íåãî âûáåðåì δ > 0 òàê, ÷òîáû ïðè âñåõ x ∈ U δ (x0 ) âûïîëíÿëîñü
íåðàâåíñòâî |f (x) − a| < ε = a. Íî ýòî íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî

                      0 = a − a < f (x) < a + a ⇒ 0 < f (x) < 2a.

×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Òåîðåìà. Åñëè ïðåäåë ôóíêöèè g â òî÷êå x0 îòëè÷åí îò íóëÿ, òî
                                                                1
ñóùåñòâóåò ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 , â êîòîðîé ôóíêöèÿ g(x)

Страницы