Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x → x
0
x
n
→ x
0
x
0
n
→ x
0
f(x
n
) f(x
0
n
)
f(x) = sin
1
x
lim
x→0
sin
1
x
x
n
=
1
πn
x
0
n
=
1
π
2
+ 2πn
x
n
→ 0 x
0
n
→ 0
f(x
n
) = sin πn = 0 −−−−→
n→∞
0 f(x
0
n
) = sin
³
π
2
+ 2πn
´
= 1 −−−−→
n→∞
1
x→x
0
f(x)
x→x
0
f(x) f
x→x
0
f(x) = A ⇔
x→x
0
f(x) = A
(⇒)
x→x
0
f(x) = A
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x : 0 < |x − x
0
| < ε ⇒ |f(x) − A| < ε.
(x
n
) x
n
6= x
0
x
n
−−−−→
n→∞
x
0
N n > N |x
n
−x
0
| <
δ |f(x
n
) − A| < ε
x→x
0
f(x) = A
(⇐) e
x→x
0
f(x) = A
x→x
0
f(x) 6= A ∃ε > 0 ∀δ =
1
n
∃x
n
0 < |x
n
− x
0
| <
1
n
|f(x
n
) − A| > ε
(x
n
) x
n
6= x
0
x
n
−−−−→
n→∞
x
0
lim
n→∞
|f(x
n
) − A| = 0 |f(x
n
) − A| > ε
A f
x x
0
A = lim
x→x
0
−0
f(x),
ε > 0 δ > 0 x
(x
0
− δ; x
0
) |f(x) − A| < ε
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x : x
0
− δ < x < x
0
⇒ |f(x) − A| < ε.
Ëåêöèÿ 10                                                                69


   Î÷åíü ÷àñòî ýòî îïðåäåëåíèå èñïîëüçóþò äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îòñóò-
ñòâèÿ ïðåäåëà ó ôóíêöèè ïðè x → x0 . Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî íàéòè òàêèå
äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn → x0 è x0n → x0 , ÷òîáû ñîîòâåòñòâóþùèå ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòè çíà÷åíèé ôóíêöèè f (xn ) è f (x0n ) èìåëè ðàçíûå ïðåäåëû.
                             1
   Ïðèìåð Ïóñòü f (x) = sin x  . Ïîêàæåì, ÷òî ïðåäåëà lim sin x1 íå ñóùå-
                                                         x→0
ñòâóåò.
                1            1
   Ïóñòü xn =     è x0n = π       . Î÷åâèäíî, òîãäà xn → 0 è x0n → 0. Íî
               πn         2 + 2πn       ³            ´
f (xn ) = sin πn = 0 −−−−→ 0, à f (x0n ) = sin π2 + 2πn = 1 −−−−→ 1. Çíà÷èò,
                      n→∞                                    n→∞
ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò.
    Îáîçíà÷èì âðåìåííî ÷åðåç C-lim f (x)  ïðåäåë ôóíêöèè ïî Êîøè, à
                                  x→x0
÷åðåç H-lim f (x)  ïðåäåë ôóíêöèè f ïî Ãåéíå.
      x→x0
   Òåîðåìà (îá ýêâèâàëåíòíîñòè îïðåäåëåíèé Êîøè è Ãåéíå) Ïðåäåë
                                                             ôóíê-
öèè ïî Êîøè ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò ïðå-
äåë ïî Ãåéíå è â ýòîì ñëó÷àå îíè ðàâíû :
                       C-lim f (x) = A ⇔ H-lim f (x) = A
                       x→x0               x→x0

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. (⇒) Ïóñòü C-lim f (x) = A, òîãäà
                                              x→x0

             ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x : 0 < |x − x0 | < ε ⇒ |f (x) − A| < ε.
Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn ) òàêóþ, ÷òî xn 6= x0 è
xn −−−−→ x0 . Òîãäà íàéäåòñÿ òàêîå N , ÷òî ïðè âñåõ n > N áóäåò |xn − x0 | <
   n→∞
δ . Ñëåäîâàòåëüíî, |f (xn ) − A| < ε. Çíà÷èò, H-lim f (x) = A.
                                                  x→x0
   (⇐)   e Ïóñòü H-lim
                 x→x
                       f (x) = A, íî C-lim f (x) 6= A. Òîãäà ∃ε > 0 ∀δ = n1
                        0            x→x      0

∃xn : 0 < |xn − x0 | < n1 è |f (xn ) − A| > ε. Íî òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
(xn ) òàêîâà, ÷òî xn 6= x0 è xn −−−−→ x0 Ïîýòîìó äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ
                                    n→∞
ñîîòíîøåíèå lim |f (xn ) − A| = 0, à ó íàñ |f (xn ) − A| > ε?!
            n→∞
   Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
   Îïðåäåëåíèå ×èñëî A íàçûâàþò ïðåäåëîì ôóíêöèè f ïðè ñòðåìëåíèè
x ê x0 ñëåâà è ïèøóò
                        A = lim f (x),
                                    x→x0 −0

åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî δ > 0, ÷òî ïðè âñåõ x èç
(x0 − δ; x0 ), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |f (x) − A| < ε. Áîëåå êîðîòêî òî æå
ñàìîå ìîæíî çàïèñàòü òàê:
             ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x : x0 − δ < x < x0 ⇒ |f (x) − A| < ε.

Страницы