Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

lim
x→x
0
x
2
= x
2
0
0 < |x − x
0
| < δ |x| − |x
0
| 6
|x − x
0
| < δ |x| < |x
0
| + δ
|x
2
− x
2
0
| = |x − x
0
||x + x
0
| < δ(|x| + |x
0
|) 6 δ(2|x
0
| + δ) 6 ∗
δ = min{1,
ε
2|x
0
|+1
} ∗
∗ 6 δ(2|x
0
| + 1) 6 ε.
ε > 0 δ = min{1,
ε
2|x
0
|+1
} x
0 < |x −x
0
| < δ
|x
2
− x
2
0
| < ε
lim
x→x
0
cos x = cos x
0
0 < |x − x
0
| < δ
|cos x − cos x
0
| =
¯
¯
¯
2 sin
x − x
0
2
sin
x + x
0
2
¯
¯
¯
6
¯
¯
¯
2 sin
x − x
0
2
¯
¯
¯
6 |x − x
0
| < δ = ε.
|sin x| 6 |x|
ε > 0 δ = ε x 0 < |x −
x
0
| < δ |sin x−sin x
0
| < ε
≈
A f
x x
0
(x
n
)
(
x
n
6= x
0
x
n
−−−−→
n→∞
x
0
f(x
n
)
A
∀(x
n
)
n∈N
:
(
x
n
6= x
0
x
n
−−−−→
n→∞
x
0
⇒ lim
n→∞
f(x
n
) = A.
68                                                                  Êëåâ÷èõèí Þ.À


     Ïðèìåðû.    1) lim x2 = x20 .
                     x→x0
    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü 0 < |x − x0 | < δ , òîãäà |x| − |x0 | 6
|x − x0 | < δ , çíà÷èò, |x| < |x0 | + δ è

          |x2 − x20 | = |x − x0 ||x + x0 | < δ(|x| + |x0 |) 6 δ(2|x0 | + δ) 6 ∗

Âûáåðåì δ = min{1, 2|x0ε|+1 }, òîãäà îöåíêó ∗ ìîæíî ïðîäîëæèòü:

                                ∗ 6 δ(2|x0 | + 1) 6 ε.

Èòàê, äëÿ ëþáîãî ε > 0, âûáèðàÿ δ = min{1, 2|x0ε|+1 } ïðè âñåõ x, óäîâëå-
òâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì 0 < |x − x0 | < δ , áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî
|x2 − x20 | < ε, ÷òî è òðåáóåòñÿ ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà.
    2) lim cos x = cos x0 .
       x→x0
     Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü 0 < |x − x0 | < δ , òîãäà
                     ¯      x − x0     x + x0 ¯¯ ¯¯       x − x0 ¯¯
                     ¯
| cos x − cos x0 | = ¯2 sin        sin         ¯ 6 ¯2 sin         ¯ 6 |x − x0 | < δ = ε.
                              2          2                  2
(ìû âîñïîëüçîâàëèñü èçâåñòíûì íåðàâåíñòâîì | sin x| 6 |x|) Èç ýòîé îöåíêè
âèäèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0, åñëè âûáðàòü δ = ε, òî ïðè âñåõ x: 0 < |x −
x0 | < δ áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî | sin x−sin x0 | < ε, ÷òî è òðåáîâàëîñü
äîêàçàòü.
   Ïðèâåäåííîå âûøå îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè, âïåðâûå ïðåäëîæèë
(â 1821 ãîäó) ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê Î.Ë. Êîø    è (A.L. Cauchy). Äðó-
ãîå îïðåäåëåíèå, êàê ìû óâèäèì íèæå, ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèþ Êî-
øè, ïðåäëîæèë (≈ 1850 ã.) íåìåöêèé ìàòåìàòèê Ã.Ý. Ãåéíå (H.E. Heine).
 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ îíî îêàçûâàåòñÿ áîëåå óäîáíûì äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ,
÷åì îïðåäåëåíèå Êîøè.
   Îïðåäåëåíèå. ×èñëî A íàçûâàþò ïðåäåëîì (ïî Ãåéíå) ôóíêöèè f ïðè
x ñòðåìÿùåìñÿ ê x0 , åñëè
                                                   (
                                                     xn 6= x0
     äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn ) òàêîé, ÷òî
                                                     xn −−−−→ x0
                                                                     n→∞
       ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè f (xn )
       èìååò ïðåäåëîì ÷èñëî A:
                            (
                             xn 6= x0
                ∀(xn )n∈N :              ⇒ lim f (xn ) = A.
                             xn −−−−→ x0  n→∞
                                    n→∞

Страницы