Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(∗ ∗ ∗)
|x
n
− x
n+p
| = |x
n
− x
2n
| > n ·
1
2n
=
1
2
= ε.
(a; b) [a; b]
ε x
0
U
ε
(x
0
) = {x : |x − x
0
| < ε} = (x
0
− ε; x
0
+ ε)
δ
◦
U
δ
(x
0
) x
0
◦
U
δ
(x
0
) = U
δ
(x
0
) − {x
0
} = (x
0
− δ; x
0
) ∪ (x
0
; x
0
+ δ)
f
x
0
A f x
x
0
A = lim
x→x
0
f(x)
ε > 0 δ > 0 x
◦
U
δ
(x
0
) x
0
f(x) ∈ U
ε
(A)
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x : 0 < |x −x
0
| < δ ⇒ |f(x) − A| < ε.
ε > 0 δ > 0 x
0 < |x − x
0
| < δ
|f(x) − A| < ε
f
A x x
0
x
0
Ëåêöèÿ 10                                                                   67


ñîãëàñíî (∗ ∗ ∗) áóäåì èìåòü

                                                      1  1
                  |xn − xn+p | = |xn − x2n | > n ·      = = ε.
                                                     2n  2


Ëåêöèÿ 10.
Ïðåäåë ôóíêöèè
Çäåñü ìû èçó÷èì ïîíÿòèå ïðåäåëà ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà èíòåðâàëàõ
(a; b) èëè îòðåçêàõ [a; b]. Ïðåäåëû íà áîëåå ñëîæíî óñòðîåííûõ ìíîæåñòâàõ
ìû â öåëÿõ óïðîùåíèÿ èçëîæåíèÿ íà ýòîì ýòàïå íå ðàññìàòðèâàåì.
    Ïðåäâàðèòåëüíî íåñêîëüêî âñïîìîãàòåëüíûõ òîïîëîãè÷åñêèõ ïîíÿòèé.
    Îïðåäåëåíèå. Íàïîìíèì, ÷òî ε-îêðåñòíîñòü òî÷êè x0  ýòî ìíîæå-
ñòâî Uε (x0 ) = {x : |x − x0 | < ε} = (x0 − ε; x0 + ε).
                                       ◦
   Ïðîêîëîòîé δ -îêðåñòíîñòüþ U δ (x0 ) òî÷êè x0 íàçûâàþò ìíîæåñòâî
             ◦
             U δ (x0 ) = Uδ (x0 ) − {x0 } = (x0 − δ; x0 ) ∪ (x0 ; x0 + δ)

(ò.å. ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü  ýòî îêðåñòíîñòü, èç êîòîðîé, îáðàçíî ãîâî-
ðÿ, âûêîëîëè (óäàëèëè) åå öåíòð).
    Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü f îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíî-
ñòè òî÷êè x0 . ×èñëî A íàçûâàþò ïðåäåëîì ôóíêöèè f ïðè ñòðåìëåíèè x ê
x0 è ïèøóò A = lim f (x), êîãäà
                  x→x0

     äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî δ > 0, ÷òî ïðè âñåõ x èç
                                   ◦
     ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè U δ (x0 ) òî÷êè x0 âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
     f (x) ∈ Uε (A).

 áîëåå êðàòêîé àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå (÷àùå âñåãî èñïîëüçóåìîé íà ïðàê-
òèêå) òî æå ñàìîå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:

            ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x : 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − A| < ε.

(äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî δ > 0, ÷òî ïðè âñåõ x, óäî-
âëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì 0 < |x − x0 | < δ , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
|f (x) − A| < ε)
    Èíòóèòèâíî, çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f äîëæíû áûòü ñêîëü óãîäíî áëèçêè
ê ÷èñëó A, åñëè òîëüêî çíà÷åíèÿ x äîñòàòî÷íî áëèçêè ê ÷èñëó x0 (íî íå
ñîâïàäàþò ñ x0 ).

Страницы