Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

b
1
−a
1
=
b−a
2
[a
2
; b
2
]
[a
1
; b
1
] x
n
∈ [a
2
; b
2
]
n ∈ N b
2
−a
2
=
b−a
2
2
[a
1
; b
1
] ⊃ [a
2
; b
2
] ⊃ ··· ⊃ [a
n
; b
n
] ⊃ . . .
b
n
− a
n
=
b−a
2
n
−−−−→
n→∞
0
c ∈
∞
T
n=1
[a
n
; b
n
]
(x
n
k
) c
n
1
x
n
1
∈ [a
1
; b
1
] n
n
2
n
2
> n
1
x
n
2
∈ [a
2
; b
2
] n
(x
n
k
) x
n
k
∈ [a
k
; b
k
]
0 6 |x
n
k
− c| 6 (b
k
− a
k
) 6
b − a
2
k
−−−−→
n→∞
0
(x
n
)
∀ε > 0 ∃N ∀n, m > N ⇒ |x
n
− x
m
| < ε (∗)
ε > 0 N n, m N
|x
n
−x
m
| < ε
∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀p > 0 ⇒ |x
n
− x
n+p
| < ε (∗∗)
(∗) (∗∗)
(x
n
)
ε = 1 N
n > N p > 0 |x
n
− x
n+p
| < ε
n
0
> N U
1
(x
n
0
) = (x
n
0
− 1; x
n
0
+ 1)
Ëåêöèÿ 9                                                                     65


îíî âåðíî äëÿ îáåèõ ïîëîâèíîê, â ýòîì ñëó÷àå áåðåì ëþáóþ èç íèõ). Î÷å-
âèäíî, b1 −a1 = b−a  2 . Àíàëîãè÷íî, ÷åðåç [a2 ; b2 ] îáîçíà÷àåì òó èç ïîëîâèíîê
îòðåçêà [a1 ; b1 ], äëÿ êîòîðîé îòíîøåíèå xn ∈ [a2 ; b2 ] âûïîëíÿåòñÿ äëÿ áåñ-
êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà èíäåêñîâ n ∈ N. Òîãäà b2 − a2 = b−a       22 . Ïðîäîëæàÿ òàê
äî áåñêîíå÷íîñòè, ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âëîæåííûõ îòðåçêîâ

                    [a1 ; b1 ] ⊃ [a2 ; b2 ] ⊃ · · · ⊃ [an ; bn ] ⊃ . . .
                    b−a
ïðè÷åì bn − an =      −−−−→ 0. Ñîãëàñíî ïðèíöèïó âëîæåííûõ îòðåçêîâ
                     2nn→∞
                                  T
                                  ∞
ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà c ∈   [an ; bn ].
                                            n=1
   Ïîñòðîèì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xnk ), ñõîäÿùóþñÿ ê c. Äëÿ ýòîãî âû-
áåðåì n1 òàê, ÷òîáû xn1 ∈ [a1 ; b1 ]. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, òàê êàê òàêèõ n
ïî ïîñòðîåíèþ áåñêîíå÷íî ìíîãî. Äàëåå, âûáåðåì n2 òàê, ÷òîáû n2 > n1 è
xn2 ∈ [a2 ; b2 ]. Îïÿòü ýòî âîçìîæíî ñäåëàòü, òàê êàê ïî ïîñòðîåíèþ òàêèõ n
áåñêîíå÷íî ìíîãî. Ïðîäîëæàÿ àíàëîãè÷íî, ïîëó÷èì òàêóþ ïîäïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü (xnk ), ÷òî xnk ∈ [ak ; bk ]. Çíà÷èò,

                                                        b−a
                  0 6 |xnk − c| 6 (bk − ak ) 6              −−−−→ 0
                                                         2k n→∞
Ïðèìåíåíèå òåîðåìû î ñæàòîé ïåðåìåííîé çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.
   Î÷åíü ÷àñòî áûâàåò ïîëåçíà èíôîðìàöèÿ î òîì, ñõîäèòñÿ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü èëè ðàñõîäèòñÿ áåç âû÷èñëåíèÿ ñàìîãî ïðåäåëà. Ñâîéñòâî, óêà-
çàííîå â ñëåäóþùåì îïðåäåëåíèè ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü ýòó èíôîðìàöèþ.
   Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn ) íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëü-
íîé (èëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ Êîøè ), åñëè

                   ∀ε > 0 ∃N ∀n, m > N ⇒ |xn − xm | < ε                      (∗)

(äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå N , ÷òî ïðè âñåõ n, m áîëüøå ýòîãî N
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |xn − xm | < ε) Íåìíîãî èíà÷å òî æå ñàìîå ìîæíî
çàïèñàòü òàê:

                ∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀p > 0 ⇒ |xn − xn+p | < ε                 (∗∗)

Ñàìî óñëîâèå (∗) (èëè ýêâèâàëåíòíîå (∗∗)) íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì Êîøè.
   Òåîðåìà. Åñëè (xn ) ôóíäàìåíòàëüíà, òî îíà îãðàíè÷åíà.
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëÿ ε = 1 âûáåðåì N òàê, ÷òîáû ïðè
âñåõ n > N è ëþáûõ p > 0 âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî |xn − xn+p | < ε.
Ïóñòü n0 > N . Òîãäà âíå èíòåðâàëà U1 (xn0 ) = (xn0 − 1; xn0 + 1) ìîãóò

Страницы