Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

X
n
= {x
n
, x
n+1
, x
n+2
, . . . } y
n
= sup X
n
(x
n
k
)
k∈N
(x
n
)
n
k
k n
k
> k x
n
k
∈ X
k
x
n
k
6 y
k
lim
k→∞
x
n
k
6 a a
(x
n
k
) a
ε =
1
k
x
n
k+1
∈
X
n
k
+1
n
k
< n
k+1
y
n
k
+1
−
1
n
< x
n
k+1
6 y
n
k
+1
lim
k→∞
y
n
k
+1
=
a
lim
k→∞
x
n
k
= a
y
1
= +∞
(x
n
)
( ±∞)
lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
³
inf
k>n
x
k
´
(x
n
)
(x
n
k
)
(x
n
)
(x
n
)
n∈N
⇒ ∃(n
k
)
k∈N
: n
k
↑ ∧(x
n
k
)
k∈N
.
(x
n
) a b x
n
∈ [a; b]
a+b
2
[a
1
; b
1
] [a, b] x
n
∈ [a
1
; b
1
]
n ∈ N
N
64                                                          Êëåâ÷èõèí Þ.À


   Ïîëîæèì Xn = {xn , xn+1 , xn+2 , . . . }. Òîãäà yn = sup Xn . Åñëè (xnk )k∈N
 ïðîèçâîëüíàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç (xn ), òî â ñèëó ñòðîãîãî âîçðàñ-
òàíèÿ nk , ïðè ëþáûõ k èìååì nk > k , çíà÷èò, xnk ∈ Xk è ïîýòîìó xnk 6 yk .
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ýòîì íåðàâåíñòâå (÷òî ìîæíî äåëàòü ïî ñâîéñòâó
ïðåäåëîâ), ïîëó÷àåì lim xnk 6 a, ò.å. a  ìàæîðàíòà ìíîæåñòâà ÷àñòè÷-
                      k→∞
íûõ ïðåäåëîâ. ×òîáû ïîêàçàòü, ÷òî îíà ïðèíàäëåæèò ýòîìó ìíîæåñòâó,
íàäî ïîñòðîèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xnk ), ñõîäÿùóþñÿ ê a.
   Ïî îïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè äëÿ ε = k1 âûáåðåì xnk+1 ∈
Xnk +1 (çíà÷èò, nk < nk+1 , ÷òî íåîáõîäèìî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ïîäïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü) òàê, ÷òîáû ynk +1 − n1 < xnk+1 6 ynk +1 . Çàìåòèì, ÷òî lim ynk +1 =
                                                                 k→∞
a, êàê ó ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïîýòîìó
ïî òåîðåìå î ñæàòîé ïåðåìåííîé lim xnk = a. Ñëó÷àé 1) ïîëíîñòüþ äîêà-
                                   k→∞
çàí. Äîêàçàòåëüñòâà â ñëó÷àå 2) è êîãäà y1 = +∞ îñòàþòñÿ äëÿ ñàìîñòîÿ-
òåëüíîé ðàáîòû.
    êà÷åñòâå ïîëåçíîãî óïðàæíåíèÿ ðåêîìåíäóåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî äîêà-
çàòü òåîðåìó
   Òåîðåìà. Ó ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn ) ñóùåñòâóåò íèæíèé ïðå-
äåë (êîíå÷íûé èëè ðàâíûé ±∞), âû÷èñëÿåìûé ïî ôîðìóëå :
                                       ³      ´
                         lim xn = lim inf xk
                           n→∞       n→∞ k>n




   Òåîðåìà (Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà) Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn ) îã-
ðàíè÷åíà, òî ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xnk ) ýòîé ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòè, êîòîðàÿ ñõîäèòñÿ.
   Èíîãäà ýòó òåîðåìó ôîðìóëèðóþò â áîëåå îáðàçíîé ôîðìå:
   Èç âñÿêîé îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn ) ìîæíî èçâëå÷ü ñõî-
äÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü :

     (xn )n∈N  îãðàíè÷åíà ⇒ ∃(nk )k∈N : nk ↑ ∧(xnk )k∈N  ñõîäèòñÿ.

     Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ýòó òåîðåìó îáû÷íî äîêàçûâàþò, òàê íàçûâà-
åìûì, ìåòîäîì äèõîòîì      èè (äåëåíèÿ ïîïîëàì). Â äàëüíåéøåì ýòîò ìåòîä
áóäåò ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ìíîãèõ äðóãèõ òåîðåì.
      ñèëó îãðàíè÷åííîñòè (xn ) ñóùåñòâóþò òàêèå a è b, ÷òî âñå xn ∈ [a; b].
Ðàçäåëèì ýòîò îòðåçîê íà äâå ðàâíûå ÷àñòè òî÷êîé a+b     2 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç
[a1 ; b1 ] òó èç ïîëîâèíîê îòðåçêà [a, b] äëÿ êîòîðîé îòíîøåíèå xn ∈ [a1 ; b1 ]
âûïîëíÿåòñÿ äëÿ áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà èíäåêñîâ n ∈ N (ïî êðàéíåé ìå-
ðå äëÿ îäíîé èç íèõ ýòî âåðíî, òàê êàê ìíîæåñòâî N áåñêîíå÷íî, åñëè æå

Страницы