Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

n > N |b
n
− a
n
| < ε
0 6 |c
0
− c| 6 |b
n
− a
n
| < ε
ε > 0
|c
0
− c| = 0
(x
n
k
)
k∈N
(x
n
) n
k
n
1
< n
2
< n
3
< n
4
< ··· < n
k
< . . .
k 7→ n
k
: N → N
x : N → R
(x
n
)
n∈N
(x
2k
)
k∈N
(x
2k+1
)
k∈N
(x
k
2
)
k∈N
(x
2
k
)
k∈N
(x
n
k
)
k∈N
(x
n
)
n∈N
(x
n
)
n∈N
x
n
= (−1)
n
1
−1
lim
k→∞
x
2k
= lim
k→∞
(−1)
2k
= lim
k→∞
1 = 1
lim
k→∞
x
2k+1
= lim
k→∞
(−1)
2k+1
= lim
k→∞
−1 = −1.
x
n
= (−1)
n
n +
1
n
+∞ −∞
62                                                          Êëåâ÷èõèí Þ.À


âñåõ n > N âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî |bn − an | < ε. Òîãäà

                       0 6 |c0 − c| 6 |bn − an | < ε

Òàê êàê ýòî íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε > 0 îòñþäà
ñëåäóåò, ÷òî |c0 − c| = 0?!
   Òåîðåìà äîêàçàíà.



Ëåêöèÿ 9.
Ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ÷àñòè÷íûå ïðåäåëû
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xnk )k∈N íàçûâàåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëü-
íîñòüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åå èíäåêñû nk
îáðàçóþò ñòðîãî âîçðàñòàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë:

                   n1 < n2 < n3 < n4 < · · · < nk < . . .

   Òàêèì îáðàçîì, ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü  ýòî êîìïîçèöèÿ äâóõ îòîá-
ðàæåíèé: ñòðîãî âîçðàñòàþùåãî k 7→ nk : N → N è ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
x:N→R
   Ïðèìåðû. Åñëè (xn )n∈N  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî (x2k )k∈N åå ïîä-
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ýòó ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàþò ïîäïîñëåäîâà-
òåëüíîñòüþ ýëåìåíòîâ ñ ÷åòíûìè íîìåðàìè. Àíàëîãè÷íî (x2k+1 )k∈N  ïîä-
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè.
   Åùå ïðèìåðû: (xk2 )k∈N , (x2k )k∈N . . .
   Îïðåäåëåíèå. Åñëè ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xnk )k∈N ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè (xn )n∈N èìååò ïðåäåë (êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé), òî åãî íàçûâàþò
÷àñòè÷íûì ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn )n∈N .
   Ïðèìåðû. 1) Ïóñòü xn = (−1)n . Ìû óæå âèäåëè, ÷òî ýòà ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü ðàñõîäèòñÿ, òåì íå ìåíåå îíà èìååò äâà ÷àñòè÷íûõ ïðåäåëà 1 è
−1, òàê êàê

                lim x2k = lim (−1)2k = lim 1 = 1
               k→∞        k→∞            k→∞

                lim x2k+1 = lim (−1)2k+1 = lim −1 = −1.
               k→∞           k→∞              k→∞


   2) Ïóñòü xn = (−1)n n + n1 . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàñõîäèòñÿ è èìååò äâà
÷àñòè÷íûõ ïðåäåëà +∞ è −∞.

Страницы