Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(x
n
) (
)
lim
n→∞
x
n
= a (|a| 6= ∞) (x
n
k
)
k∈N
(x
n
) ε > 0
N n > N |x
n
−a| < ε
n
k
K
k > K n
k
> N |x
n
k
−a| < ε
lim
n→∞
x
n
= ±∞
(x
n
)
lim sup
n→∞
x
n
lim
n→∞
x
n
(x
n
)
lim inf
n→∞
x
n
lim
n→∞
x
n
(x
n
)
( ±∞)
lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
³
sup
k>n
x
k
´
y
n
= sup
k>n
x
k
n
y
n
= sup{x
n
, x
n+1
, x
n+2
, . . . } > sup{x
n+1
, x
n+2
, . . . } = y
n+1
.
y
1
< +∞ (y
n
)
y
n
→ −∞
lim
n→∞
y
n
= a
a
Ëåêöèÿ 9                                                                                63


   Òåîðåìà. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn ) èìååò ïðåäåë (êîíå÷íûé èëè
áåñêîíå÷íûé), òî âñÿêàÿ åå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò òîò æå ñàìûé
ïðåäåë. (Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå òîæå âåðíî !)
   Ýòîò ôàêò ÷àñòî èñïîëüçóþò äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàñõîäèìîñòè ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòåé. Åñëè óêàçàòü äâå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñõîäÿùèõñÿ ê
ðàçíûì ïðåäåëàì, òî èñõîäíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, â ñèëó ýòîé òåîðåìû,
íå ìîæåò áûòü ñõîäÿùåéñÿ.
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü lim xn = a (|a| 6= ∞) è (xnk )k∈N
                                              n→∞
ïðîèçâîëüíàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn ). Äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåì òàêîå
÷èñëî N , ÷òî äëÿ âñåõ n > N áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî |xn −a| < ε. Â
ñèëó ñòðîãîãî âîçðàñòàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè nk , íàéäåòñÿ òàêîå K , ÷òî
ïðè âñåõ k > K áóäåì èìåòü nk > N , çíà÷èò, |xnk − a| < ε. È â ýòîì ñëó÷àå
òåîðåìà äîêàçàíà.
   Äîêàçàòåëüñòâî â ñëó÷àå lim xn = ±∞ è îáðàòíàÿ òåîðåìà îñòàþòñÿ
                             n→∞
äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû.
   Îïðåäåëåíèå. Âåðõíèì ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn ) íàçûâàåò-
ñÿ íàèáîëüøèé èç ÷àñòè÷íûõ ïðåäåëîâ è îáîçíà÷àåòñÿ îäíèì èç äâóõ ñïî-
ñîáîâ: lim sup xn èëè lim xn .
       n→∞             n→∞
   Íèæíèì ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn ) íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèé
èç ÷àñòè÷íûõ ïðåäåëîâ è îáîçíà÷àåòñÿ lim inf xn èëè lim xn .
                                              n→∞              n→∞
   Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå âåðõíåãî (íèæíåãî) ïðå-
äåëà ó ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, õîòÿ ïðèâåäåííûé ñïîñîá åãî âû÷èñëå-
íèÿ ìàëî ýôôåêòèâåí.
   Òåîðåìà. Ó ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn ) ñóùåñòâóåò âåðõíèé ïðå-
äåë (êîíå÷íûé èëè ðàâíûé ±∞), âû÷èñëÿåìûé ïî ôîðìóëå :
                                      ³     ´
                        lim xn = lim sup xk
                            n→∞          n→∞ k>n


   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yn = sup xk .
                                                                                  k>n
Î÷åâèäíî, îíà óáûâàåò, òàê êàê äëÿ ëþáîãî n

       yn = sup{xn , xn+1 , xn+2 , . . . } > sup{xn+1 , xn+2 , . . . } = yn+1 .

   Åñëè y1 < +∞, òî (yn ) ëèáî 1) èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë (êîãäà îãðàíè-
÷åíà ñíèçó), ëèáî 2) yn → −∞.
    ïåðâîì ñëó÷àå ïóñòü lim yn = a. Ïîêàæåì, ÷òî ýòî íàèáîëüøèé èç
                          n→∞
÷àñòè÷íûõ ïðåäåëîâ. Äëÿ ýòîãî íàäî ïîêàçàòü, ÷òî a  ìàæîðàíòà ìíîæå-
ñòâà ÷àñòè÷íûõ ïðåäåëîâ è ïðèíàäëåæèò åìó.

Страницы