Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

2 < e < 3
e e ≈ 2, 718281828459
([a
n
; b
n
])
n∈N
[a
1
; b
1
] ⊃ [a
2
; b
2
] ⊃ ··· ⊃ [a
n
; b
n
] ⊃ . . .
(a
n
)
(b
n
)
([a
n
; b
n
])
n∈N
lim
n→∞
(b
n
−a
n
)=0
c
(∀n)[a
n
; b
n
] ⊂ [a
n+1
; b
n+1
] ∧ lim
n→∞
(b
n
− a
n
) = 0 ⇒ ∃!c ∈
∞
\
n=1
[a
n
; b
n
].
A
B
A = {a
n
: n ∈ N} B = {b
n
: n ∈ N}.
n m a
n
< b
m
c
∀a
n
∈ A ∀b
m
∈ B a
n
6 c 6 b
m
n c ∈ [a
n
; b
n
] c ∈
∞
T
n=1
[a
n
; b
n
]
e c c
0
∈
∞
T
n=1
[a
n
; b
n
] c < c
0
n a
n
6 c < c
0
6 b
n
ε > 0 N
Ëåêöèÿ 8                                                                                         61


è òåîðåìà äîêàçàíà.
   Çàìå÷àíèå. Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî 2 < e < 3. Ìîæíî
äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî e  èððàöèîíàëüíî, e ≈ 2, 718281828459. 1

Ïðèíöèï âëîæåííûõ îòðåçêîâ
Ñëåäóþùàÿ íèæå òåîðåìà íàñòîëüêî ÷àñòî è ýôôåêòèâíî ïðèìåíÿåòñÿ ïðè
äîêàçàòåëüñòâå äðóãèõ òåîðåì, ÷òî åå íàçûâàþò ïðèíöèïîì.
   Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòðåçêîâ ([an ; bn ])n∈N íàçûâàåòñÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ âëîæåííûõ îòðåçêîâ, åñëè

                     [a1 ; b1 ] ⊃ [a2 ; b2 ] ⊃ · · · ⊃ [an ; bn ] ⊃ . . .

Î÷åâèäíî, â ýòîì ñëó÷àå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ëåâûõ êîíöîâ îòðåçêîâ (an )
ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðàâûõ (bn )  óáûâàþùåé.
   Òåîðåìà Êàíòîðà (ïðèíöèï âëîæåííûõ îòðåçêîâ). Åñëè ([an ; bn ])n∈N
 òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âëîæåííûõ îòðåçêîâ, ÷òî lim (bn −an )=0,
                                                       n→∞
òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà c, ïðèíàäëåæàùàÿ âñåì îòðåçêàì
îäíîâðåìåííî:
                                                                            ∞
                                                                            \
      (∀n)[an ; bn ] ⊂ [an+1 ; bn+1 ] ∧ lim (bn − an ) = 0 ⇒ ∃!c ∈                [an ; bn ].
                                        n→∞
                                                                            n=1

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A ìíîæåñòâî ëåâûõ êîíöîâ
âñåõ îòðåçêîâ, à ÷åðåç B  ïðàâûõ:

                    A = {an : n ∈ N}              B = {bn : n ∈ N}.

Î÷åâèäíî, äëÿ ëþáûõ n, m èìååì an < bm , ïîýòîìó ñîãëàñíî ñâîéñòâó ïîë-
íîòû ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ñóùåñòâóåò òî÷êà c, ðàçäåëÿþùàÿ
ýòè ìíîæåñòâà, ò.å. òàêàÿ, ÷òî

                        ∀an ∈ A ∀bm ∈ B             an 6 c 6 b m
                                                                                     T
                                                                                     ∞
 ÷àñòíîñòè, äëÿ ëþáûõ n áóäåì èìåòü c ∈ [an ; bn ], çíà÷èò, c ∈                         [an ; bn ].
                                                                                    n=1
    Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî òàêàÿ òî÷êà åäèíñòâåííà.
                     T
                     ∞
    e Ïóñòü c è c0 ∈   [an ; bn ]. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî c < c0 . Òîãäà äëÿ ëþáûõ
                       n=1
n   an 6 c < c0 6 bn . Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε > 0 âûáåðåì N òàê, ÷òîáû ïðè
   1 Íà ñàìîì äåëå îíî òðàíñöåíäåíòíî, ò.å. íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì íèêàêîãî ìíîãî÷ëåíà ñ
öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè

Страницы