Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

( N)
+∞
−∞
lim
n→∞
a
n
n!
= 0
x
n
=
a
n
n!
x
n+1
=
a
n+1
(n+1)!
=
a
n
n!
a
(n+1)
n > N = [a]
a
n+1
< 1
A
A = lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
x
n+1
= lim
n→∞
a
n
n!
a
(n + 1)
=
= lim
n→∞
x
n
a
(n + 1)
= lim
n→∞
x
n
lim
n→∞
a
(n + 1)
= A lim
n→∞
a
(n + 1)
= 0.
x
n
=
s
2 +
r
2 +
q
2 + . . .
√
2
| {z }
n
lim
n→∞
x
n
x
1
=
√
2 < 2 n
x
n
< 2
x
n
< 2 x
n+1
=
√
2 + x
n
<
√
2 + 2 = 2
x
n
< 2
x
n
x
n+1
=
√
2 + x
n
= x
n
s
2 + x
n
x
2
n
> x
n
r
x
n
+ x
n
x
2
n
= x
n
r
2
x
n
> x
n
(x
n
)
A x
n+1
=
√
2 + x
n
A =
√
2 + A A
2
= 2 + A A
2
−A −2 = 0 A = 2
A = −1 x
n
> 0 A > 0
A = 2
e
e
def
= lim
n→∞
³
1 +
1
n
´
n
.
Ëåêöèÿ 8                                                                59


   Òåîðåìà (î ïðåäåëå ìîíîòîííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè) Åñëè ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü ìîíîòîííà (õîòÿ áû íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî N ) è îãðàíè÷åíà,
òî îíà ñõîäèòñÿ.
   Åñëè âîçðàñòàåò è íåîãðàíè÷åíà, òî èìååò ïðåäåëîì +∞.
   Åñëè íåîãðàíè÷åíà è óáûâàåò, òî èìååò ïðåäåëîì −∞.
                     an
   Ïðèìåðû. 1) lim      = 0.
                n→∞ n!
                              n
                                             an+1      n
   Äåéñòâèòåëüíî, åñëè xn = an! , òî xn+1 = (n+1)! = an! (n+1)
                                                           a
                                                               . Îòêóäà
                                                                a
âèäèì, ÷òî ïðè n > N = [a] ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óáûâàåò (ò.ê. n+1   < 1).
Ïîýòîìó îíà ñõîäèòñÿ è ìû ìîæåì îáîçíà÷èòü åå ïðåäåë, ñêàæåì, ÷åðåç A.
Íî òîãäà

                                     an    a
  A = lim xn = lim xn+1 = lim                    =
      n→∞       n→∞           n→∞ n! (n + 1)
                       a                          a               a
          = lim xn           = lim xn lim              = A lim         = 0.
            n→∞     (n + 1) n→∞ n→∞ (n + 1)               n→∞ (n + 1)
                 s     r      q
                                         √
   2) Ïóñòü xn = 2 + 2 + 2 + . . . 2. Íàéòè lim xn .
                                                      n→∞
                 |           {z             }
                         n  êîðíåé
                √
   Èìååì x1 = 2 < 2. Ïîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òî è ïðè ëþáîì n âñå
xn < 2.                                     √          √
   Â ñàìîì äåëå, åñëè xn < 2, òî xn+1 = 2 + xn < 2 + 2 = 2. È âåðíîñòü
íåðàâåíñòâà xn < 2 äîêàçàíà.
   Äàëåå, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn âîçðàñòàåò, òàê êàê
                           s                  r              r
             √                 2 + xn           xn + xn         2
      xn+1 = 2 + xn = xn                > x n           = xn      > xn
                                 x2n              x2n          xn

   Ïî òåîðåìå î ïðåäåëå ìîíîòîííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn ) ñõîäèòñÿ,
                                                               √
ñêàæåì, ê A. Ïåðåõîäÿ
             √        ê ïðåäåëó â îáåèõ ÷àñòÿõ ðàâåíñòâà xn+1 = 2 + xn ,
ïîëó÷èì A = 2 + A, îòêóäà A2 = 2 + A èëè A2 − A − 2 = 0, ò.å. A = 2 èëè
A = −1. Òàê êàê âñå xn > 0 è, çíà÷èò, A > 0, âòîðîé êîðåíü ïîñòîðîííèé
(âîçíèê ïðè âîçâåäåíèè â êâàäðàò îáåèõ ÷àñòåé ðàâåíñòâà) è A = 2.

×èñëî e
Ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàþò
                                     ³ 1 ´n
                             def
                           e = lim 1 +      .
                                 n→∞   n

Страницы