Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(x
n
)
∀n x
n
6 x
n+1
( x
n
< x
n+1
)
(x
n
)
x
n
% x
n
↑
(x
n
)
∀n x
n
> x
n+1
( x
n
> x
n+1
)
x
n
& x
n
↓
N n > N
(∀n) N < n ⇒ x
n
6 x
n+1
(x
n
)
N
(x
n
)
lim
n→∞
x
n
= sup
n∈N
x
n
x
n
↑ ∧(x
n
) ⇒ ∃ lim
n→∞
x
n
= sup
n∈N
x
n
.
{x
n
: n ∈ N}
a = sup{x
n
: n ∈
N} lim
n→∞
x
n
= a
ε > 0 x
n
0
a − ε < x
n
0
6 a
n > n
0
a − ε <
x
n
0
6 x
n
6 a |x
n
− a| < ε
N
58                                                        Êëåâ÷èõèí Þ.À


Ëåêöèÿ 8.
Òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëîâ
Îïðåäåëåíèå.    Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn ) íàçûâàåòñÿ âîçðàñòàþùåé (ñî-
îòâ. ñòðîãî âîçðàñòàþùåé ), åñëè

                    ∀n xn 6 xn+1    (ñîîòâ. xn < xn+1 )

Äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè èíîãäà âìåñòî ñëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn ) âîç-
ðàñòàåò â êîíñïåêòàõ ïèøóò xn % èëè xn ↑
   Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn ) íàçûâàåòñÿ óáûâàþùåé (ñîîòâ. ñòðîãî óáûâà-
þùåé ), åñëè
                    ∀n xn > xn+1 (ñîîòâ. xn > xn+1 )
(îáîçíà÷åíèå xn & èëè xn ↓)
   Çàìå÷àíèÿ. 1.  ðóññêîé ëèòåðàòóðå î÷åíü ÷àñòî íàçûâàþò íåóáûâà-
þùèìè òå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êîòîðûå ìû íàçûâàåì âîçðàñòàþùèìè è
ïðîñòî âîçðàñòàþùèìè òå, êîòîðûå ìû íàçûâàåì ñòðîãî âîçðàñòàþùèìè.
È àíàëîãè÷íàÿ òåðìèíîëîãèÿ äëÿ óáûâàíèÿ: íåâîçðàñòàþùèå  òå ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòè, êîòîðûå ìû íàçûâàåì óáûâàþùèìè è óáûâàþùèå  òå,
êîòîðûå ìû íàçûâàåì ñòðîãî óáûâàþùèìè.
   2. Åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå N , ÷òî ïðè n > N ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âîç-
ðàñòàåò (ò.å. (∀n) N < n ⇒ xn 6 xn+1 ), òî ãîâîðÿò, ÷òî (xn ) âîçðàñòàåò
íà÷èíàÿ ñ íîìåðà N .
   Òåîðåìà. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn ) âîçðàñòàåò è îãðàíè÷åíà ñâåð-
õó, òî îíà ñõîäèòñÿ è lim xn = sup xn :
                       n→∞         n∈N

          xn ↑ ∧(xn )  îãðàíè÷åíà ñâåðõó ⇒ ∃ lim xn = sup xn .
                                               n→∞        n∈N

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ ìíîæåñòâî {xn : n ∈ N}
îãðàíè÷åíî, îíî èìååò òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü, ñêàæåì a = sup{xn : n ∈
N}. Ïîêàæåì, ÷òî lim xn = a. Äëÿ ýòîãî ïî îïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåé
                    n→∞
ãðàíè, äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåì òàêîå ÷èñëî xn0 , ÷òî a − ε < xn0 6 a. Íî
â ñèëó âîçðàñòàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðè n > n0 áóäåì èìåòü a − ε <
xn0 6 xn 6 a. Çíà÷èò, |xn − a| < ε. ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Óïðàæíåíèå. Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü àíàëîãè÷íóþ òåîðåìó äëÿ
óáûâàþùèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
   Î÷åâèäíî, îáå òåîðåìû îñòàþòñÿ âåðíûìè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé âîç-
ðàñòàþùèõ (ñîîòâ. óáûâàþùèõ) íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî N . Ïîýòîìó, êàê èòîã
ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó.

Страницы