Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

lim
n→∞
n
a
n
= 0 (a > 1)
a = 1 + ε ε > 0
0 <
n
a
n
=
n
(1 + ε)
n
=
n
1 + nε +
n(n−1)
2!
ε
2
+ . . .
<
<
n
n(n−1)
2!
ε
2
=
2
(n − 1)ε
2
−−−−→
n→∞
0.
lim
n→∞
x
n
= a lim
n→∞
y
n
= b a < b
N n > N x
n
< y
n
ε =
b−a
2
U
ε
(a) U
ε
(b) N
1
n > N
1
x
n
∈
U
ε
(a) N
2
n > N
2
y
n
∈ U
ε
(b)
n > N = max{N
1
, N
2
} x
n
<
a+b
2
< y
n
(
lim
n→∞
x
n
= a a < b ∃N ∀n > N ⇒ x
n
< b
(x
n
) (y
n
)
lim
n→∞
x
n
= a lim
n→∞
y
n
= b ∀n x
n
6 y
n
a 6 b
x
n
6 y
n
⇒ lim
n→∞
x
n
6 lim
n→∞
y
n
e a > b
∀n x
n
6 y
n
lim
n→∞
y
n
= b b 6= 0 N
n
1
y
n
: n > N
o
ε =
|b|
2
> 0 N
n > N y
n
∈ U
ε
(b)
n |y
n
| > ε =
|b|
2
¯
¯
¯
1
y
n
¯
¯
¯
6
1
|b/2|
=
2
|b|
.
x
n
∈ U
ε
(a) ⇒ |x
n
− a| < ε =
b−a
2
⇒ x
n
< a +
b−a
2
=
a+b
2
a+b
2
< y
n
56                                                                                Êëåâ÷èõèí Þ.À


Ïî òåîðåìå î ñæàòîé ïåðåìåííîé ïîëó÷àåì òðåáóåìîå ðàâåíñòâî.
           n
   3) lim n = 0 (a > 1)
     n→∞ a
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïîëîæèì a = 1 + ε, òîãäà ε > 0 è

          n       n                            n
     0<    n
             =          =                                       <
          a    (1 + ε)n   1 + nε +           n(n−1) 2
                                                   ε    + ...
                                               2!
                                                                n                   2
                                                     <                      =             −−−−→ 0.
                                                           n(n−1) 2
                                                                 ε              (n − 1)ε2 n→∞
                                                             2!

      Òåîðåìà.   Åñëè lim xn = a è lim yn = b è a < b, òî ñóùåñòâóåò
                       n→∞            n→∞
òàêîå N , ÷òî ïðè âñåõ n > N èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî xn < yn .
    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ε = b−a
                                                      2 . Òîãäà îêðåñòíîñòè
Uε (a) è Uε (b) íå ïåðåñåêàþòñÿ. Âûáåðåì N1 òàê, ÷òîáû ïðè n > N1 âñå xn ∈
Uε (a) è âûáåðåì N2 òàê, ÷òîáû ïðè n > N2 èìåëè yn ∈ Uε (b). Î÷åâèäíî,
                                                        (1
ïðè n > N = max{N1 , N2 } áóäåì èìåòü xn < a+b 2 < yn .    ×òî è òðåáîâàëîñü
äîêàçàòü.

      Ñëåäñòâèå 1.        Åñëè lim xn = a è a < b, òî ∃N ∀n > N ⇒ xn < b.
                                 n→∞
      Ñëåäñòâèå 2.Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn ) è (yn ) òàêîâû, ÷òî
 lim xn = a, lim yn = b è ∀n xn 6 yn , òî a 6 b (èíûìè ñëîâàìè â
n→∞          n→∞
íåðàâåíñòâàõ ìîæíî ïåðåõîäèòü ê ïðåäåëó: xn 6 yn ⇒ lim xn 6 lim yn ,
                                                                                 n→∞        n→∞
åñëè óêàçàííûå ïðåäåëû ñóùåñòâóþò).
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.         e
                                   a > b. Íî ñîãëàñíî äîêàçàííîé òåîðåìå ýòî
ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî ïî óñëîâèþ ∀n xn 6 yn ?!
   Òåîðåìà. Åñëè lim yn = b è b 6= 0, òî ñóùåñòâóåò òàêîå N , ÷òî
                       n→∞
              n1            o
ìíîæåñòâî          : n > N îãðàíè÷åíî.
               yn
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïîëîæèì ε = |b|2 > 0 è ïîäáåðåì N òàê, ÷òîáû
ïðè âñåõ n > N âûïîëíÿëîñü ñîîòíîøåíèå yn ∈ Uε (b). Î÷åâèäíî, äëÿ ýòèõ
n èìååì |yn | > ε = |b|
                      2 . Ïîýòîìó

                                       ¯1¯    1      2
                                       ¯ ¯
                                       ¯ ¯6       =     .
                                        yn  |b/2|   |b|

×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
     1x                                b−a                b−a       a+b
                                                                        .   Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ,
       n ∈ Uε (a)   ⇒ |xn − a| < ε =    2
                                             ⇒ xn < a +    2
                                                                =    2
      a+b
÷òî    2
          < yn

Страницы