Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

lim
n→∞
x
n
= a lim
n→∞
y
n
= b
1. lim
n→∞
x
n
± y
n
= lim
n→∞
x
n
± lim
n→∞
y
n
= a ± b
2. lim
n→∞
x
n
· y
n
= lim
n→∞
x
n
· lim
n→∞
y
n
= a · b
3. lim
n→∞
x
n
y
n
=
lim
n→∞
x
n
lim
n→∞
y
n
=
a
b
b 6= 0 ∀n y
n
6= 0
|(x
n
+ y
n
) − (a + b)| = |(x
n
− a) + (y
n
− b)| 6 |x
n
− a| + |y
n
− b|. (∗)
lim
n→∞
x
n
= a lim
n→∞
y
n
= b ε > 0
N
1
n > N
1
|x
n
−a| <
ε
2
N
2
n > N
2
|y
n
− a| <
ε
2
n > N = max {N
1
, N
2
} (∗) |(x
n
+ y
n
) − (a + b)| < ε
|x
n
y
n
− ab| = |x
n
y
n
− ay
n
+ ay
n
− ab| 6 |x
n
− a||y
n
| + |a||y
n
− b|. (∗∗)
(y
n
) n
|y
n
| 6 M N
1
n > N
1
|x
n
− a| <
ε
2M
N
2
n > N
2
|a| 6= 0
|y
n
− b| <
ε
2|a|
n > N =
max{N
1
, N
2
} (∗∗) |x
n
y
n
−ab| < ε
N
¯
¯
¯
x
n
y
n
−
a
b
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
x
n
b − ay
n
y
n
b
¯
¯
¯
=
|x
n
b − ab + ab − ay
n
|
|y
n
b|
6
|x
n
− a| · |b| + |a| · |y
n
− b|
|y
n
||b|
6
1
|y
n
|
6
2
|b|
6
2
|b|
2
¡
|b| · |x
n
− a| + |a| · |y
n
− b|
¢
=
2
|b|
|x
n
− a| +
2|a|
|b|
2
|y
n
− b| < ε.
Ëåêöèÿ 8                                                                           57


   Òåîðåìà. (Àëãåáðàè÷åñêèå ñâîéñòâà ïðåäåëîâ) Ïóñòü ñóùåñòâóþò
êîíå÷íûå ïðåäåëû lim xn = a è lim yn = b. Òîãäà
                     n→∞                 n→∞

             1. lim xn ± yn = lim xn ± lim yn = a ± b
                 n→∞                 n→∞          n→∞
             2. lim xn · yn = lim xn · lim yn = a · b
                 n→∞                 n→∞         n→∞

                       xn     lim xn  a
             3. lim       = n→∞     =             åñëè b 6= 0 è ∀n yn 6= 0
                 n→∞   yn    lim yn   b
                             n→∞

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1. Îöåíèì ìîäóëü ðàçíîñòè

      |(xn + yn ) − (a + b)| = |(xn − a) + (yn − b)| 6 |xn − a| + |yn − b|.        (∗)

Ïîñêîëüêó ñóùåñòâóþò ïðåäåëû lim xn = a è lim yn = b äëÿ ëþáîãî ε > 0
                                         n→∞            n→∞
ïîäáåðåì N1 òàê, ÷òîáû ïðè n > N1 âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî |xn − a| < 2ε
è N2 , ÷òîáû ïðè n > N2 âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî |yn − a| < 2ε . Íî òîãäà
ïðè n > N = max{N1 , N2 } èç (∗) ñëåäóåò, ÷òî |(xn + yn ) − (a + b)| < ε è 1.
äîêàçàíî.
   2. Èìååì

    |xn yn − ab| = |xn yn − ayn + ayn − ab| 6 |xn − a||yn | + |a||yn − b|.        (∗∗)

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (yn ) ñõîäèòñÿ, çíà÷èò, îãðàíè÷åíà. Ïóñòü äëÿ âñåõ n
|yn | 6 M . Òîãäà âûáåðåì N1 òàê, ÷òîáû ïðè âñåõ n > N1 âûïîëíÿëîñü
                          ε
íåðàâåíñòâî |xn − a| < 2M    è N2 òàê, ÷òîáû ïðè âñåõ n > N2 (è |a| = 6 0)
                                        ε
âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî |yn − b| < 2|a|   .  ýòîì ñëó÷àå ïðè n > N =
max{N1 , N2 } èç (∗∗) ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà |xn yn − ab| < ε è
2. äîêàçàíî.
     3. Äåëàÿ âñå âûáîðû ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì (ïîäîáíî ïðåäûäóùå-
ìó), ìîæíî íàïèñàòü îöåíêó (ñàìîñòîÿòåëüíî óêàçàòü, êàê âûáèðàòü N ):
¯x    ¯ ¯            ¯
¯ n a ¯ ¯ xn b − ayn ¯ |xn b − ab + ab − ayn |   |xn − a| · |b| + |a| · |yn − b|
¯ − ¯=¯              ¯=                        6                                 6
 yn b         yn b              |yn b|                       |yn ||b|
                               1          2
(ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå       |yn |   6   |b| )

          2 ¡                                 ¢   2            2|a|
     6       2
               |b| · |xn − a| + |a| · |yn − b| =     |xn − a| + 2 |yn − b| < ε.
         |b|                                     |b|           |b|

×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

Страницы