Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x
1
x
2
x
N
m = min{x
1
, x
2
, . . . , x
N
, a−1} M = max{x
1
, x
2
, . . . , x
N
, a+1}
n m 6 x
n
6 M
x
n
= (−1)
n
(x
n
) (y
n
) (z
n
)
lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
y
n
= a n
x
n
6 z
n
6 y
n
(z
n
)
lim
n→∞
z
n
= a
( lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
y
n
= a) ∧ (x
n
6 z
n
6 y
n
) ⇒ lim
n→∞
z
n
= a.
ε > 0
N n > N x
n
∈ U
ε
(a) y
n
∈ U
ε
(a) z
n
z
n
∈ U
ε
(a)
lim
n→∞
n
√
a = 1 (a > 1)
a > 1
n
√
a > 1
n
√
a = 1 + α
n
α
n
> 0
a = (1 + α
n
)
n
= 1 + nα
n
+
n(n − 1)
2!
α
2
n
+ ··· > 1 + nα
n
,
0 6 α
n
6
a−1
n
a 6
n
√
a 6 1 +
a − 1
n
−−−−→
n→∞
1
lim
n→∞
n
√
n = 1
n > 1
n
√
n > 1
n
√
n = 1 + α
n
α
n
> 0
n = (1 + α
n
)
n
= 1 + nα
n
+
n(n − 1)
2!
α
2
n
+ ··· > 1 +
n(n − 1)
2!
α
2
n
,
0 6 α
2
n
6
2!
n
1 6
n
√
n 6 1 +
r
2
n
−−−−→
n→∞
1
Ëåêöèÿ 7                                                                           55


Âíå ýòîãî èíòåðâàëà ìîãóò áûòü òîëüêî ÷èñëà x1 , x2 ,. . . ,xN . Ïîýòîìó ïîëî-
æèâ m = min{x1 , x2 , . . . , xN , a−1}, à M = max{x1 , x2 , . . . , xN , a+1}, âèäèì,
÷òî ïðè âñåõ n âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî m 6 xn 6 M . ×òî è òðåáîâàëîñü
äîêàçàòü.
    Îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â îáùåì ñëó÷àå íå îáÿçàíà ñõîäèòü-
ñÿ, íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn = (−1)n î÷åâèäíî îãðàíè÷åíà, íî íå
ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ.
   Òåîðåìà (î ñæàòîé ïåðåìåííîé). Åñëè (xn ), (yn ) è (zn )  òàêèå òðè
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ÷òî lim xn = lim yn = a è äëÿ ëþáîãî n âûïîëíÿ-
                                n→∞        n→∞
þòñÿ íåðàâåíñòâà xn 6 zn 6 yn , òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (zn ) ñõîäèòñÿ è
lim zn = a.
n→∞

           ( lim xn = lim yn = a) ∧ (xn 6 zn 6 yn ) ⇒ lim zn = a.
            n→∞         n→∞                                  n→∞

    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïî ïðîèçâîëüíîìó ε > 0 ïîäáåðåì òàêîå ÷èñëî
N , ÷òî ïðè âñåõ n > N áóäåò xn ∈ Uε (a) è yn ∈ Uε (a). Òàê êàê zn ëåæèò
ìåæäó íèìè, òî î÷åâèäíî è zn ∈ Uε (a). ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
                           √
    Ïðèìåðû. 1) lim n a = 1 (a > 1)
                    n→∞                                              √
    Ä î ê à√ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïîñêîëüêó ïðè ëþáûõ a > 1 èìååì n a > 1,
ïîëîæèì n a = 1 + αn . Î÷åâèäíî, òîãäà αn > 0. Íî òîãäà
                                          n(n − 1) 2
           a = (1 + αn )n = 1 + nαn +             αn + · · · > 1 + nαn ,
                                             2!
                   a−1
îòêóäà 0 6 αn 6     n .   Ïîýòîìó
                                √          a−1
                           a6   n
                                    a61+       −−−−→ 1
                                            n n→∞
Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàåòñÿ ïðèìåíèòü òåîðåìó î ñæàòîé ïå-
ðåìåííîé. √
    2) lim n n = 1
      n→∞                                              √
 √  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðè ëþáûõ n > 1 èìååì n n > 1, ïîëîæèì
 n
   n = 1 + αn . Î÷åâèäíî, òîãäà αn > 0. Ïî ôîðìóëå áèíîìà Íüþòîíà
                                      n(n − 1) 2               n(n − 1) 2
       n = (1 + αn )n = 1 + nαn +             αn + · · · > 1 +         αn ,
                                         2!                       2!
                   2!
îòêóäà 0 6 αn2 6   n.   Ïîýòîìó
                                            r
                                √               2
                           16   n
                                    n61+          −−−−→ 1
                                                n n→∞

Страницы