Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

lim
n→∞
x
n
= −∞
def
⇔ ∀E > 0 ∃N ∀n > N ⇒ x
n
6 −E.
lim
n→∞
x
n
= +∞ lim
n→∞
x
n
=
−∞ lim
n→∞
x
n
= ∞
lim
n→∞
(−1)
n
n = ∞, lim
n→∞
(−1)
n
n 6= +∞ lim
n→∞
(−1)
n
n 6= −∞.
(x
n
) a (
lim
n→∞
x
n
= a) lim
n→∞
(x
n
− a) = 0
lim
n→∞
x
n
= a lim
n→∞
y
n
= a
(z
n
)
z
n
=
(
x
n−1
2
, n = 2k + 1;
y
n
2
, n = 2k;
lim
n→∞
z
n
= a
z
1
z
2
z
3
z
4
z
5
z
6
. . .
q q q q q q . . .
x
1
y
1
x
2
y
2
x
3
y
3
. . .
ε > 0
lim
n→∞
x
n
= a N
1
n > N
1
|x
n
− a| < ε lim
n→∞
y
n
= a
N
2
n > N
2
|y
n
−a| < ε
N = 2 max{N
1
, N
2
} n > N n = 2k
n k > N
2
|z
n
− a| = |y
k
− a| < ε
n = 2k + 1 k > N
1
|z
n
− a| = |x
k
− a| < ε
ε > 0 N = 2 max{N
1
, N
2
}
n > N |z
n
−a| < ε
Ëåêöèÿ 7                                                                          53


È åùå îäíî îïðåäåëåíèå
                            def
            lim xn = −∞ ⇔ ∀E > 0 ∃N ∀n > N ⇒ xn 6 −E.
            n→∞

   Èç ýòèõ îïðåäåëåíèé ñðàçó âèäèì, ÷òî åñëè lim xn = +∞ èëè lim xn =
                                            n→∞             n→∞
−∞, òî lim xn = ∞. Îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî, ÷òî ìîæíî óâè-
        n→∞
äåòü èç ïðèìåðà:

    lim (−1)n n = ∞,   íî    lim (−1)n n 6= +∞         è     lim (−1)n n 6= −∞.
   n→∞                      n→∞                              n→∞

    Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ, åñëè îíà
èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë.
    Ïðåäëîæåíèå 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn ) ñõîäèòñÿ ê ÷èñëó a (ò.å.
 lim xn = a) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà lim (xn − a) = 0.
n→∞                                      n→∞
    Äîêàçàòåëüñòâî ñâîäèòñÿ ê íàïèñàíèþ òîãî, ÷òî îçíà÷àåò ïî îïðåäå-
ëåíèþ ïåðâîå è âòîðîå ðàâåíñòâà, îòêóäà ñðàçó âèäíî, ÷òî ýòî îäíî è òî
æå.
    Ïðåäëîæåíèå 2. Åñëè lim xn = a è lim yn = a, òî ïîñëåäîâàòåëü-
                             n→∞                 n→∞
íîñòü (zn ), îïðåäåëÿåìàÿ ñîîòíîøåíèÿìè
                             (
                              x n−1 , n = 2k + 1;
                        zn =       2

                              y n2 ,  n = 2k;

ñõîäèòñÿ è lim zn = a.
           n→∞
   Îòìåòèì, ÷òî â óñëîâèÿõ òåîðåìû èìååì

                       z1   z2    z3   z4   z5    z6   ...
                        q    q     q    q    q     q   ...
                       x1   y1    x2   y2   x3    y3   ...

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïîñêîëüêó
lim xn = a, íàéäåòñÿ òàêîé íîìåð N1 , ÷òî ïðè âñåõ n > N1 áóäåò âûïîë-
n→∞
íÿòüñÿ íåðàâåíñòâî |xn − a| < ε. À òàê êàê è lim yn = a, íàéäåòñÿ òàêîé
                                                   n→∞
íîìåð N2 , ÷òî ïðè âñåõ n > N2 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî |yn − a| < ε.
Âîçüìåì N = 2 max{N1 , N2 }. Òåïåðü, åñëè n > N , òî â ñëó÷àå, êîãäà n = 2k
(ò.å. n  ÷åòíîå), ÷èñëî k > N2 , çíà÷èò, |zn − a| = |yk − a| < ε, à êîãäà
n = 2k + 1, èìååì k > N1 , çíà÷èò, |zn − a| = |xk − a| < ε òîæå.
    Èòàê, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε > 0 ìû ïîäîáðàëè N = 2 max{N1 , N2 } òàêîå,
÷òî ïðè âñåõ n > N èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî |zn −a| < ε. ×òî è òðåáîâàëîñü
äîêàçàòü.

Страницы