Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

a = lim
n→∞
x
n
U
ε
(a) a
N
∀U
ε
(a) ∃N ∀n > N ⇒ x
n
∈ U
ε
(a)
x
n
=
n−1
n+1
lim
n→∞
n−1
n+1
= 1
¯
¯
¯
n − 1
n + 1
− 1
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
−2
n + 1
¯
¯
¯
=
2
n + 1
.
2
n+1
< ε n >
2
ε
− 1 n >
2
ε
ε > 0 N
2
ε
−1
n > N
¯
¯
n−1
n+1
−1
¯
¯
< ε
lim
n→∞
(
√
n + 3 −
√
n + 1)
√
n + 3 −
√
n + 1 =
(n + 3) − (n + 1)
√
n + 3 +
√
n + 1
=
2
√
n + 3 +
√
n + 1
n
¯
¯
¯
2
√
n + 3 +
√
n + 1
¯
¯
¯
6
¯
¯
¯
2
√
n +
√
n
¯
¯
¯
=
1
√
n
< ε
n > N =
¡
1
ε
¢
2
(x
n
)
n∈N
lim
n→∞
x
n
= ∞
E N
E
lim
n→∞
x
n
= ∞
def
⇔ ∀E > 0 ∃N ∀n > N ⇒ |x
n
| > E.
lim
n→∞
x
n
= +∞
lim
n→∞
x
n
= +∞
def
⇔ ∀E > 0 ∃N ∀n > N ⇒ x
n
> E.
52                                                         Êëåâ÷èõèí Þ.À


     Îïðåäåëåíèå. a = lim xn , åñëè äëÿ ëþáîé îêðåñòíîñòè Uε (a) òî÷êè a
                      n→∞
íàéäåòñÿ òàêîé íîìåð N , íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãî âñå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ïîïàäóò â ýòó îêðåñòíîñòü:
                         ∀Uε (a) ∃N ∀n > N ⇒ xn ∈ Uε (a)
     Ïðèìåðû.  1) Ïóñòü xn = n−1                 lim n−1
                             n+1 . Ïîêàæåì, ÷òî n→∞  n+1 = 1.
     Äåéñòâèòåëüíî,
                      ¯n − 1    ¯ ¯ −2 ¯       2
                      ¯         ¯ ¯       ¯
                      ¯      − 1¯ = ¯     ¯=       .
                        n+1           n+1    n+1
                     2
Ðåøàÿ íåðàâåíñòâî n+1   < ε, íàõîäèì, ÷òî îíî âûïîëíÿåòñÿ ïðè âñåõ n >
2                                                     2
ε − 1 (òåì áîëåå îíî áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ïðè n > ε è ëþáûõ áîëüøèõ
÷èñëàõ). Ïîýòîìó, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε > 0, åñëè âçÿòü â êà÷åñòâå N ëþáîå
(öåëîå) ÷èñëî áîëüøåå ÷åì 2ε −1, òî íàøè âû÷èñëåíèÿ
                                          ¯        ¯ ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè
âñåõ n > N áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî ¯ n−1
                                            n+1 −1 ¯ < ε. ×òî è òðåáîâàëîñü
äîêàçàòü.                     √        √
   2. Âû÷èñëèòü ïðåäåë lim ( n + 3 − n + 1).
                        n→∞
   Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà ïðåîáðàçóåì äàííîå âûðàæåíèå:
          √          √        (n + 3) − (n + 1)       2
              n+3−       n+1= √         √       =√      √
                                n+3+ n+1           n+3+ n+1
Òåïåðü âèäíî, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè n çíàìåíàòåëü ðàñòåò, à ÷èñëèòåëü îñòà-
åòñÿ ïîñòîÿííûì. Î÷åâèäíî, ïðåäåë áóäåò ðàâåí íóëþ, ÷òî ìîæíî ïîäòâåð-
äèòü îöåíêîé:
               ¯         2      ¯ ¯     2    ¯   1
               ¯                ¯ ¯          ¯
               ¯√          √    ¯ 6 ¯√    √ ¯= √ <ε
                  n+3+ n+1             n+ n       n
                  ¡ 1 ¢2
ïðè âñåõ n > N = ε .
   Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn )n∈N ðàâåí
áåñêîíå÷íîñòè è ïèøóò lim xn = ∞, êîãäà äëÿ ëþáîãî (ñêîëü óãîäíî
                             n→∞
áîëüøîãî) ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà E íàéäåòñÿ òàêîé íîìåð N , íà÷èíàÿ ñ
êîòîðîãî âñå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóäóò ïî ìîäóëþ áîëüøå E :
                               def
               lim xn = ∞ ⇔ ∀E > 0 ∃N ∀n > N ⇒ |xn | > E.
               n→∞

   Ýòî îïðåäåëåíèå íàäî ðàçëè÷àòü ñ î÷åíü ïîõîæèì ïî îáîçíà÷åíèþ, íî
îòëè÷íûì ïî ñìûñëó lim xn = +∞:
                         n→∞

                                def
               lim xn = +∞ ⇔ ∀E > 0 ∃N ∀n > N ⇒ xn > E.
               n→∞

Страницы