Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(x
n
)
n∈N
n x
n
x(n)
{x
n
: n ∈ N} {x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . . }
{x
n
}
x
n
= (−1)
n
{x
n
, n ∈ N} =
{−1, +1}
(x
n
)
n∈N
∃M ∀n ∈ N ⇒ x
n
6 M.
M x
n
(x
n
)
n∈N
∀M ∃n : n ∈ N ∧ x
n
> M.
M
M
(x
n
)
n∈N
∃m ∀n ∈ N ⇒ x
n
> m.
m
∃C ∀n ∈ N ⇒ |x
n
| 6 C.
C max{|M|, |m|}
∀C ∃n ∈ N : |x
n
| > C.
Z
{0} ∪ N
50                                                                Êëåâ÷èõèí Þ.À


Ëåêöèÿ 7.
Òåîðèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
×èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn )n∈N  ýòî ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà
ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë1 , äëÿ çàïèñè çíà÷åíèé êîòîðîé íà àðãóìåíòå
n èñïîëüçóþòñÿ èíäåêñíûå îáîçíà÷åíèÿ, ò.å. ïèøóò xn , à íå x(n) êàê ó
äðóãèõ ôóíêöèé.
   Íàïîìíèì, ÷òî îáðàç ìíîæåñòâà âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìû îáîçíà÷à-
åì îäíèì èç òðåõ ñïîñîáîâ: {xn : n ∈ N} èëè {x1 , x2 , . . . , xn , . . . } èëè ïðîñòî
{xn }, åñëè ýòî íå ìîæåò âûçâàòü íåäîðàçóìåíèé.
   Ïðèìåð. Åñëè xn = (−1)n , òî ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé {xn , n ∈ N} =
{−1, +1}, ò.å. ñîñòîèò âñåãî èç äâóõ ýëåìåíòîâ.
   Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn )n∈N îãðàíè÷åíà
ñâåðõó, åñëè îãðàíè÷åíî ñâåðõó ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé, ò.å.

                             ∃M ∀n ∈ N ⇒ xn 6 M.

(ñóùåñòâóåò ÷èñëî M áîëüøåå ëþáîãî ÷ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ).
   Íåîãðàíè÷åííîñòü ñâåðõó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn )n∈N îçíà÷àåò, ÷òî âû-
ïîëíåíî ñâîéñòâî
                       ∀M ∃n : n ∈ N ∧ xn > M.
(êàêîå áû ÷èñëî M ìû íè âçÿëè, â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åñòü (ñóùåñòâóþò)
÷ëåíû, áîëüøèå ÷åì M )
   Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn )n∈N îãðàíè÷åíà ñíèçó, åñëè îãðà-
íè÷åíî ñíèçó ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé, ò.å.

                              ∃m ∀n ∈ N ⇒ xn > m.

(ñóùåñòâóåò ÷èñëî m ìåíüøåå ëþáîãî ÷ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè)
   Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàþò îãðàíè÷åííîé, åñëè îíà îäíîâðåìåííî
îãðàíè÷åíà è ñíèçó è ñâåðõó. Î÷åâèäíî, ýòî áóäåò òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà
                        ∃C ∀n ∈ N ⇒ |xn | 6 C.
(â êà÷åñòâå C ìîæíî âçÿòü max{|M |, |m|} èëè ëþáîå áîëüøåå ÷èñëî)
    Îòìåòèì, ÷òî ñîãëàñíî îáùåìó ïðàâèëó ïîñòðîåíèÿ îòðèöàíèé, íåîãðà-
íè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü  ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñî ñâîéñòâîì:

                              ∀C ∃n ∈ N : |xn | > C.
   1 êàê ìû óïîìèíàëè ðàíåå, èíîãäà â êà÷åñòâå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ áåðóò Z èëè åãî
ïîäìíîæåñòâà, î÷åíü ÷àñòî {0} ∪ N

Страницы