Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

n, m ∈ N x
(n)
6 x 6 x
(m)
x = x
0
, x
1
x
2
. . . y =
y
0
, y
1
y
2
. . .
x + y
def
= sup{x
(n)
+ y
(n)
: n ∈ N}
x − y
def
= sup{x
(n)
− y
(n)
: n ∈ N}
x · y
def
= sup{x
(n)
· y
(n)
: n ∈ N}
x y
x + y
def
= inf{x
(n)
+ y
(n)
: n ∈ N}
x − y
def
= inf{x
(n)
− y
(n)
: n ∈ N}
x · y
def
= inf{x
(n)
· y
(n)
: n ∈ N}
A
x y
A = {x
(n)
+ y
(m)
: n, m ∈ N},
B x y
B = {x
(n)
+ y
(m)
: n, m ∈ N}.
A
B
x + y = c c A B
x y
A B
A = {x
(n)
· y
(m)
: n, m ∈ N}, B = {x
(n)
· y
(m)
: n, m ∈ N}.
Ëåêöèÿ 7                                                                  49


Î÷åâèäíî, äëÿ ëþáûõ n, m ∈ N èìååì x(n) 6 x 6 x(m)
     Îïðåäåëåíèå ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ. Åñëè x = x0 , x1 x2 . . . è y =
y0 , y1 y2 . . .  äâà ïîëîæèòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñëà, òî ïîëàãàåì
                            def
                     x + y = sup{x(n) + y (n) : n ∈ N}
                            def
                     x − y = sup{x(n) − y (n) : n ∈ N}
                            def
                      x · y = sup{x(n) · y (n) : n ∈ N}

   Äëÿ ÷èñåë x è y ïðîèçâîëüíûõ çíàêîâ îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ
îïðåäåëÿþòñÿ ñòàíäàðòíûì ñîãëàøåíèåì î ïðàâèëå çíàêîâ. Ìû íà ýòîì
íå áóäåì îñòàíàâëèâàòüñÿ êàê è íà óòîìèòåëüíîé íî íåñëîæíîé ïðîâåðêå
âûïîëíåíèÿ âñåõ 9 ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêèõ àêñèîì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë.
Îòìåòèì òîëüêî, ÷òî, ñ îäíîé ñòîðîíû, ýòî ïîëåçíîå óïðàæíåíèå äëÿ ñà-
ìîïðîâåðêè ïîíèìàíèÿ âñåõ îïðåäåëåíèé, à ñ äðóãîé, ýòè äîêàçàòåëüñòâà
èìåþòñÿ âî âñåõ ñòàíäàðòíûõ ó÷åáíèêàõ èç ñïèñêà ëèòåðàòóðû [14] è æå-
ëàþùèå ìîãóò ïðî÷èòàòü èõ òàì.
   Åùå î÷åíü ïîëåçíûìè ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå óïðàæíåíèÿ:
   1. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë èìåþò ìå-
ñòî ðàâåíñòâà:
                            def
                     x + y = inf{x(n) + y (n) : n ∈ N}
                            def
                     x − y = inf{x(n) − y (n) : n ∈ N}
                            def
                       x · y = inf{x(n) · y (n) : n ∈ N}
   2. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A ìíîæåñòâî ñóìì âñåâîçìîæíûõ íèæíèõ ñðåçîê
ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë x è y :
                       A = {x(n) + y (m) : n, m ∈ N},

à ÷åðåç B ìíîæåñòâî ñóìì âñåâîçìîæíûõ âåðõíèõ ñðåçîê ÷èñåë x è y :
                       B = {x(n) + y (m) : n, m ∈ N}.
Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáîå ÷èñëî èç ìíîæåñòâà A ìåíüøå ëþáîãî ÷èñëà èç ìíî-
æåñòâà B .
   Äîêàçàòü, ÷òî x + y = c, ãäå c ðàçäåëÿåò ìíîæåñòâà A è B .
   Àíàëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë x è y . Íàäî òîëüêî
â êà÷åñòâå ìíîæåñòâ A è B âçÿòü âñåâîçìîæíûå ïðîèçâåäåíèÿ:
        A = {x(n) · y (m) : n, m ∈ N},   B = {x(n) · y (m) : n, m ∈ N}.

Страницы