Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x
1
A
1
A
0
x
1
A
1
= {x = x
0
, x
1
x
2
. . . x
n
. . . : x ∈ A
0
}.
X
k
k A
k−1
X
k
= {x
k
: x = x
0
, x
1
. . . x
k−1
x
k
. . . ∈ A
k−1
}.
x
k
A
k
A
k−1
x k
x
k
A
k
= {x = x
0
, x
1
. . . x
k
x
k+1
. . . : x ∈ A
k−1
}.
A
k
x
0
, x
1
x
2
. . . x
n
. . .
9
c
9
c
x ∈ A y ∈ B x 6 c 6 y
x ∈ A x 6 c
c 6 y
y = y
0
, y
1
. . . y
n
. . . ∈ B y
0
x
0
x
A
0
⊂ A x
0
, x
1
. . . y
A B y
0
x
0
c < y
y
0
= x
0
y
1
x
1
x
1
A
1
⊂ A x = x
0
, x
1
x
2
. . .
y A
B y
1
> x
1
y
1
= x
1
c 6 y
c
c = x
0
, x
1
. . . x
n−1
(x
n
+ 1)00 . . .
Ëåêöèÿ 6                                                                      47


ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò, ñêàæåì x1 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç A1 ìíîæåñòâî âñåõ
ýëåìåíòîâ èç A0 , ó êîòîðûõ ïåðâûé äåñÿòè÷íûé çíàê ñîâïàäàåò ñ x1 :

                    A1 = {x = x0 , x1 x2 . . . xn . . . : x ∈ A0 }.

Ïðîäîëæàÿ òàê è â äàëüíåéøåì, îáîçíà÷àåì ÷åðåç Xk ìíîæåñòâî äåñÿòè÷-
íûõ çíàêîâ ñòîÿùèõ íà k -îì ìåñòå â ÷èñëàõ èç Ak−1 :

                 Xk = {xk : x = x0 , x1 . . . xk−1 xk . . . ∈ Ak−1 }.

Ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò ýòîãî ìíîæåñòâà îáîçíà÷àåì ÷åðåç xk è ÷åðåç Ak
îáîçíà÷àåì ïîäìíîæåñòâî èç Ak−1 òàêèõ x, ó êîòîðûõ íà k -îì ìåñòå ñòîèò
xk :
               Ak = {x = x0 , x1 . . . xk xk+1 . . . : x ∈ Ak−1 }.
Îòìåòèì, ÷òî âñå ìíîæåñòâà Ak íåïóñòû.
  Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ äî áåñêîíå÷íîñòè, ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

                                 x0 , x1 x2 . . . xn . . .

Åñëè ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå èìååò ïåðèîäîì 9, òî ýòî äåéñòâèòåëüíîå
÷èñëî, êîòîðîå ìû è îáîçíà÷èì ÷åðåç c. Íî ìîæåò îêàçàòüñÿ è òàê, ÷òî ýòà
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ïåðèîäîì 9. Çàìåíèì åå ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñ
íóëåì â ïåðèîäå, óâåëè÷èâ íà 1 äåñÿòè÷íûé çíàê, ñòîÿùèé ïåðåä ïåðèîäîì
è ÷åðåç c îáîçíà÷èì ïîëó÷åííîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.
    Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáûõ x ∈ A è y ∈ B x 6 c 6 y . Â ñàìîì äåëå, äëÿ
ëþáûõ x ∈ A èìååì x 6 c ïî ïîñòðîåíèþ.
    ×òîáû äîêàçàòü íåðàâåíñòâî c 6 y , ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî ó íàñ íå
âîçíèêàëà ïåðèîäîì äåâÿòêà. Òîãäà ïóñòü y = y0 , y1 . . . yn . . . ∈ B . ×èñëî y0
íå ìîæåò áûòü ìåíüøå x0 , òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ëþáîå ÷èñëî x èç
A0 ⊂ A, èìåþùåå âèä x0 , x1 . . . , îêàæåòñÿ áîëüøå y , ÷åãî íå ìîæåò áûòü
ñîãëàñíî âûáîðó A è B . Åñëè y0 ñòðîãî áîëüøå x0 , òî ÷èñëî c < y , è âñå
äîêàçàíî. Åñëè æå y0 = x0 , òî ñðàâíèâàåì ñëåäóþùèé äåñÿòè÷íûé çíàê y1
ñ x1 . Îïÿòü, îí íå ìîæåò áûòü ìåíüøå x1 , èáî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ëþáîå
÷èñëî èç (íåïóñòîãî) ìíîæåñòâà A1 ⊂ A, èìåþùåå âèä x = x0 , x1 x2 . . . ,
áûëî áû ñòðîãî áîëüøå ÷èñëà y , ÷åãî íå ìîæåò áûòü ñîãëàñíî âûáîðó A è
B . Åñëè y1 > x1 , òî âñå äîêàçàíî, åñëè æå y1 = x1 , ñðàâíèâàåì ñëåäóþùèé
äåñÿòè÷íûé çíàê. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè (ïîäðîáíî
ïðîâåñòè ñàìèì), ïîêàçûâàåò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå c 6 y .
    Åñëè æå ïðè ïîñòðîåíèè ÷èñëà c âîçíèêàëà äåâÿòêà â ïåðèîäå, òî îíî
èìååò âèä:
                        c = x0 , x1 . . . xn−1 (xn + 1)00 . . .

Страницы