Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

c y (n−1)
y
n
(x
n
+ 1)
y
n
6 x
n
y
n
< x
n
A B
x ∈ A
n
y y
n
= x
n
y
y
n
9 y
y
y = x
0
, x
1
. . . x
n
9 . . . 9y
n+k
y
n+k+1
. . . y
n+k
< 9
x ∈ A
n+k
x = x
0
, x
1
. . . x
n
9 . . . 99x
n+k+1
. . .
y A B
c 6 y
A
B c A B
B < 0
A B
−A −B
∀(−y ∈ −B) ∀(−x ∈ −A) − y < −x
−c
∀(−y ∈ −B) ∀(−x ∈ −A) − y 6 −c 6 −x.
c
x = x
0
, x
1
x
2
. . . x
n
. . .
{x
(n)
, n ∈ N}
x {x
(n)
, n ∈ N} x
x
(n)
def
= x
0
+
x
1
10
+
x
2
10
2
+ ··· +
x
n
10
n
= x
0
, x
1
x
2
. . . x
n
00 . . .
x
(n)
def
= x
0
+
x
1
10
+
x
2
10
2
+ ··· +
x
n
+ 1
10
n
= x
0
, x
1
x
2
. . . x
n
00 ··· +
1
10
n
48                                                                   Êëåâ÷èõèí Þ.À


Ðàññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïðåäûäóùèì ïîêàçûâàþò, ÷òî â õóäøåì ñëó÷àå
ìû áóäåì èìåòü ñîâïàäåíèå äåñÿòè÷íûõ çíàêîâ ÷èñåë c è y âïëîòü äî (n−1)-
ãî. Ïîêàæåì, ÷òî yn íå ìîæåò áûòü ñòðîãî ìåíüøå (xn + 1). Â ñàìîì äåëå,
òîãäà yn 6 xn . Îïÿòü yn < xn ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó A è B , òàê êàê òîãäà
ëþáîå ÷èñëî x ∈ An áîëüøå y . Åñëè æå yn = xn , òî ó ÷èñëà y íàéäåòñÿ çíàê,
ñòîÿùèé ïîñëå yn , êîòîðûé ñòðîãî ìåíüøå 9 (èíà÷å ïîñëåäîâàòåëüíîñòü y
èìåëà áû ïåðèîäîì 9) ò.å. ÷èñëî y èìååò âèä:

              y = x0 , x1 . . . xn 9 . . . 9yn+k yn+k+1 . . .   yn+k < 9

Íî òîãäà ëþáîå ÷èñëî x ∈ An+k , èìåþùåå âèä

                       x = x0 , x1 . . . xn 9 . . . 99xn+k+1 . . .

áûëî áû áîëüøå ÷èñëà y , ÷åãî íå ìîæåò áûòü â ñèëó âûáîðà A è B . Çíà÷èò,
c 6 y è â ýòîì ñëó÷àå. ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Øàã 2. Ïóñòü òåïåðü âñå ýëåìåíòû èç A ìåíüøå íóëÿ. Åñëè âñå ýëåìåíòû
èç B áîëüøå íóëÿ, òî â êà÷åñòâå ÷èñëà c îòäåëÿþùåãî ìíîæåñòâà A è B
ìîæíî âçÿòü 0.
   Åñëè æå â B èìåþòñÿ ýëåìåíòû < 0, òî çàìåíèì ó âñåõ ýëåìåíòîâ ìíî-
æåñòâ A è B çíàê íà ïðîòèâîïîëîæíûé (ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîæåñòâà îáî-
çíà÷èì −A è −B ). Ïîëó÷åííûå ìíîæåñòâà óäîâëåòâîðÿþò âñåì óñëîâèÿì
øàãà 1 è:
                   ∀(−y ∈ −B) ∀(−x ∈ −A) − y < −x
Ñîãëàñíî äîêàçàííîìó, ñóùåñòâóåò ÷èñëî (îáîçíà÷èì åãî −c) äëÿ êîòîðîãî

                ∀(−y ∈ −B) ∀(−x ∈ −A)               − y 6 −c 6 −x.

Íî òîãäà ÷èñëî c îáëàäàåò íóæíûì ñâîéñòâîì.
   Òåîðåìà äîêàçàíà.


Îïðåäåëåíèå àëãåáðàè÷åñêèõ îïåðàöèé. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ àëãåáðà-
è÷åñêèõ îïåðàöèé íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè ñîïîñòàâèì êàæäîìó ïî-
ëîæèòåëüíîìó äåéñòâèòåëüíîìó ÷èñëó x = x0 , x1 x2 . . . xn . . . äâà ìíîæå-
ñòâà ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë: {x(n) , n ∈ N}  ìíîæåñòâî íèæíèõ ñðåçîê ÷èñëà
x è {x(n) , n ∈ N}  ìíîæåñòâî âåðõíèõ ñðåçîê ÷èñëà x, ïî îïðåäåëåíèþ
ïîëàãàÿ
           def     x1   x2          xn
     x(n) = x0 +      +    + · · · + n = x0 , x1 x2 . . . xn 00 . . .
                   10 102           10
           def     x1   x2          xn + 1                                  1
     x(n) = x0 +      +    + ··· +         = x0 , x1 x2 . . . xn 00 · · · + n
                   10 102            10n                                   10

Страницы