Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

6 0
> 0
<
x 6 y x y
x < y x y x = y
R
A B R
∀x ∈ A ∀y ∈ B x 6 y
A > 0 c
A B
(∃c)(∀x ∈ A)(∀y ∈ B) x 6 c 6 y.
X
0
A
X
0
= {x
0
: x = x
0
, x
1
x
2
. . . x
n
. . . ∈ A}.
y
0
y = y
0
, y
1
··· ∈ B
x
0
A
0
A x
0
A
0
= {x = x
0
, x
1
x
2
. . . x
n
. . . : x ∈ A}.
A
0
6= ∅
X
1
A
0
X
1
= {x
1
: x = x
0
, x
1
x
2
. . . x
n
. . . ∈ A
0
}.
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
46                                                                  Êëåâ÷èõèí Þ.À


   Åñëè îäíî èç ÷èñåë îòðèöàòåëüíî èëè ðàâíî íóëþ (ò.å. 6 0), à äðóãîå
ïîëîæèòåëüíî (ò.å. > 0), òî ïî îïðåäåëåíèþ ïîëîæèòåëüíîå áîëüøå.
   Åñëè îíè îáà îòðèöàòåëüíûå, òî ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàþò ìåíüøèì òî,
ìîäóëü êîòîðîãî áîëüøå (ìîäóëè óæå ïîëîæèòåëüíû, à äëÿ íèõ îòíîøåíèå
< îïðåäåëåíî).
   Íàêîíåö, ìû ïîëàãàåì x 6 y (x ìåíüøå y ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
x < y (x ñòðîãî ìåíüøå y ) èëè x = y .
   Ïðîâåðêà âûïîëíåíèÿ ïåðâûõ ÷åòûðåõ ñâîéñòâ îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà (ðå-
ôëåêñèâíîñòü, àíòèñèììåòðè÷íîñòü, òðàíçèòèâíîñòü, ëèíåéíîñòü) îñòàåòñÿ
÷èòàòåëÿì â êà÷åñòâå óòîìèòåëüíîãî, íî íåñëîæíîãî óïðàæíåíèÿ. Ìû æå
îñòàíîâèìñÿ íà äîêàçàòåëüñòâå ñâîéñòâà ïîëíîòû.
   Òåîðåìà. Íà ìíîæåñòâå R ââåäåííîå îòíîøåíèå ïîðÿäêà îáëàäàåò
ñâîéñòâîì ïîëíîòû.
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Øàã 1. Ïóñòü ïîäìíîæåñòâà A è B èç R
òàêîâû, ÷òî ∀x ∈ A è ∀y ∈ B x 6 y è äîïîëíèòåëüíî ïðåäïîëîæèì, ÷òî â
A èìååòñÿ ýëåìåíò > 0. Äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî c
îòäåëÿþùåå ìíîæåñòâà A è B , ò.å.

                      (∃c)(∀x ∈ A)(∀y ∈ B) x 6 c 6 y.

Ýòî ñàìûé ñëîæíûé ýòàï äîêàçàòåëüñòâà. Êàê ìû óâèäèì, îñòàâøèåñÿ ñëó-
÷àè ëåãêî ðåøàþòñÿ ñ åãî ïîìîùüþ.
   Îáîçíà÷èì ÷åðåç X0 ìíîæåñòâî âñåõ öåëûõ ÷àñòåé äåñÿòè÷íûõ äðîáåé
èç A:
                 X0 = {x0 : x = x0 , x1 x2 . . . xn . . . ∈ A}.
Ýòî ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë îãðàíè÷åííîå ñâåðõó ëþáûì èç öåëûõ ÷èñåë
y0 , ãäå y = y0 , y1 · · · ∈ B . Ïîýòîìó â íåì åñòü ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò (ñì.
ïðîøëóþ ëåêöèþ). Îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç x0 , à ÷åðåç A0  ìíîæåñòâî âñåõ
÷èñåë èç A, ó êîòîðûõ öåëàÿ ÷àñòü ñîâïàäàåò ñ x0 :

                    A0 = {x = x0 , x1 x2 . . . xn . . . : x ∈ A}.

Îòìåòèì, ÷òî A0 6= ∅ (ïî ñâîéñòâó 1 îïðåäåëåíèÿ ìàêñèìàëüíîãî ýëåìåí-
òà).
   Äàëåå, îáîçíà÷èì ÷åðåç X1 ìíîæåñòâî âñåõ ïåðâûõ äåñÿòè÷íûõ çíàêîâ
÷èñåë èç A0 :
                 X1 = {x1 : x = x0 , x1 x2 . . . xn . . . ∈ A0 }.
Ýòî êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî èç {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, òàê êàê òîëüêî òà-
êèå çíà÷åíèÿ ìîãóò ïðèíèìàòü äåñÿòè÷íûå çíàêè. Ïîýòîìó îíî òîæå èìååò

Страницы