Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

-
6
¡
¡µ
¡
¡µ
¡
¡µ
¡
¡µ
¡
¡µ
¡
¡µ
¡
¡µ
¡
¡µ
q q q q q q q q q
q
q
q
q
1
2
−1
−2
x
−4 −3 −2 −1
1 2 3 4
y
R
R + ·
6
x = x
0
, x
1
x
2
x
3
. . . x
n
. . .
x
0
x
k
k > 1 {0, 1, 2, . . . , 9}
44                                                    Êëåâ÷èõèí Þ.À



                                6y
                                q2
                            q1
                 ¡
                 µ ¡µ µ¡ ¡µ ¡  µ ¡µ ¡ µ ¡µ
               q¡ q¡ ¡
                     q  ¡
                        q  q¡ q¡ ¡  q  q¡ q -
              −4 −3 −2 −1 0      1 2 3 4 x
                            q −1
                                q −2


Ëåêöèÿ 6.
Ìîäåëü ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R
×òîáû âñå 16 ñâîéñòâ, ïåðå÷èñëåííûõ ðàíåå, è âñå èçâëå÷åííûå èç íèõ
ñëåäñòâèÿ èìåëè ñìûñë, ìû äîëæíû ïîñòðîèòü ìîäåëü (ò.å. ïðèâåñòè ïðè-
ìåð) ìíîæåñòâà, îáëàäàþùåãî âñåìè ýòèìè ñâîéñòâàìè, òàê êàê â ïðèíöèïå
ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî òàêèõ îáúåêòîâ íå ñóùåñòâóåò âîâñå. Òîãäà âñå èç-
âëåêàåìûå ñëåäñòâèÿ íè÷åãî íå îçíà÷àþò!
    Èòàê, íàì íàäî ñíà÷àëà çàäàòü íåêîå ìíîæåñòâî (êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì
R) è çàòåì íà íåì îïðåäåëèòü äâå àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè + è · è îòíî-
øåíèå ïîðÿäêà 6 òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü âñå 16 ñâîéñòâ, ïåðå÷èñëåííûõ
â îïðåäåëåíèè.
    Íàèáîëåå øèðîêî èçâåñòíûìè (åñòü è äðóãèå) ÿâëÿþòñÿ äâå ìîäåëè ìíî-
æåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (êîíå÷íî æå èçîìîðôíûå). Îäíà èç íèõ 
ìîäåëü Äåäåêèíäà, â íåé äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà ìîäåëèðóþòñÿ, òàê íàçûâà-
åìûìè, ñå÷åíèÿìè ìíîæåñòâà ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Ïîäðîáíî ýòà ìîäåëü
îïèñàíà â ó÷åáíèêå Ôèõòåíãîëüöà [9] è æåëàþùèõ ñ íåé îçíàêîìèòüñÿ ìû
îòñûëàåì ê ýòîé êíèãå. Äðóãàÿ ìîäåëü, ê ïîñòðîåíèþ êîòîðîé ìû ïðè-
ñòóïàåì, ðåàëèçóåò äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà êàê áåñêîíå÷íûå äåñÿòè÷íûå
äðîáè. Ôàêòè÷åñêè, ýòîé ìîäåëüþ ìû ïîñòîÿííî ïîëüçóåìñÿ íà ïðàêòè-
êå, âûïèñûâàÿ äåñÿòè÷íûå ïðèáëèæåíèÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ïîýòîìó
îíà áîëåå ïðèâû÷íà è ëåã÷å âîñïðèíèìàåòñÿ.
    Ïðèñòóïèì ê òî÷íîìó ôîðìàëüíîìó îïèñàíèþ ýòîé ìîäåëè.
    Îïðåäåëåíèå. Áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáüþ íàçûâàåòñÿ ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòü
                         x = x0 , x1 x2 x3 . . . xn . . .
ãäå x0  öåëîå ÷èñëî (ïîëîæèòåëüíîå èëè îòðèöàòåëüíîå), à ÷èñëà xk ïðè
k > 1 ìîãóò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà {0, 1, 2, . . . , 9}.

Страницы