Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

A s = sup A s − 1 < s
A
s − 1 < n 6 s n
0
> n n
0
> n + 1
n
0
> s A n
A
n = s
N
e N
n = max N n +
1 N n + 1 > n
n
Z = {−n : n ∈ N} ∪ {0} ∪ N
A ⊂ Z ( )
( )
h > 0 x ∈ R
n ∈ Z (n − 1)h 6 x < nh
h > 0 ⇒ ∀x ∈ R ∃n ∈ Z : (n − 1)h 6 x < nh.
A
x
h
A =
n
n ∈ Z : n >
x
h
o
A
m = min A m A m >
x
h
x < mh
(m − 1)h 6 x
e (m − 1)h > x m − 1 >
x
h
m − 1 ∈ A m − 1 < m
A m
ε > 0 n
0 <
1
n
< ε
∀ε > 0 ∃n ∈ N : 0 <
1
n
< ε.
∃n 0 < 1 < nε
x > 0 n x <
1
n
x = 0
∀n ∈ N 0 6 x <
1
n
⇒ x = 0.
42                                                        Êëåâ÷èõèí Þ.À


   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïî òåîðåìå î ñóùåñòâîâàíèè òî÷íîé âåðõ-
íåé ãðàíè ó ìíîæåñòâà A èìååòñÿ s = sup A. Òàê êàê s − 1 < s, ïî ñâîé-
ñòâàì òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè â ìíîæåñòâå A íàéäåòñÿ ÷èñëî (íàòóðàëüíîå)
s − 1 < n 6 s. Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî n0 > n, òî n0 > n + 1 è, ñëåäîâà-
òåëüíî, n0 > s, ò.å. íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A. Çíà÷èò, n  íàèáîëüøèé
ýëåìåíò, ïðèíàäëåæàùèé(!) ìíîæåñòâó A, ò.å. ÿâëÿåòñÿ åãî ìàêñèìàëüíûì
ýëåìåíòîì (è n = s).
   Ñëåäñòâèå 1. Ìíîæåñòâî âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N íå îãðàíè÷åíî
ñâåðõó.
                             e
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü N îãðàíè÷åíî ñâåðõó. Ïî ïðåäûäóùåé
òåîðåìå â íåì èìååòñÿ ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò n = max N. Íî ÷èñëî n +
1  íàòóðàëüíîå (ò.å. ïðèíàäëåæèò N) è n + 1 > n?! Ýòî ïðîòèâîðå÷èò
ìàêñèìàëüíîñòè n. ×.Ò.Ä.
     Îïðåäåëåíèå.    Z = {−n : n ∈ N} ∪ {0} ∪ N.
   Ñëåäñòâèå 2. Åñëè ìíîæåñòâî A ⊂ Z îãðàíè÷åíî ñíèçó (ñîîòâ. ñâåðõó),
òî îíî èìååò ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò (ñîîòâ. ìàêñèìàëüíûé).
   Òåîðåìà (ïðèíöèï Àðõèìåäà). Åñëè ÷èñëî h > 0, òî äëÿ ëþáîãî x ∈ R
íàéäåòñÿ òàêîå n ∈ Z, ÷òî (n − 1)h 6 x < nh

                  h > 0 ⇒ ∀x ∈ R ∃n ∈ Z : (n − 1)h 6 x < nh.

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A ìíîæåñòâî âñåõ öåëûõ
÷èñåë áîëüøèõ hx :              n           xo
                           A= n∈Z:n>
                                            h
Ïî îïðåäåëåíèþ A îãðàíè÷åíî ñíèçó, ïîýòîìó èìååò ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò.
Ïóñòü m = min A. Òîãäà m ïðèíàäëåæèò A, çíà÷èò, m > hx , ò.å. x < mh.
Ïîêàæåì, ÷òî (m − 1)h 6 x.
     e(m − 1)h > x. Òîãäà m − 1 > hx , çíà÷èò, m − 1 ∈ A. Íî m − 1 < m?!
(ïðîòèâîðå÷èå ñ ìèíèìàëüíîñòüþ â A ÷èñëà m). ×.Ò.Ä.
     Ñëåäñòâèå 1.    Äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå íàòóðàëüíîå n, ÷òî
     1
0<   n   < ε:
                                                1
                          ∀ε > 0 ∃n ∈ N : 0 <     < ε.
                                                n
(∃n 0 < 1 < nε)
     Ñëåäñòâèå 2.   Åñëè x > 0 è äëÿ ëþáîãî n èìååì x < n1 , òî x = 0.
                                          1
                         ∀n ∈ N 0 6 x <     ⇒ x = 0.
                                          n

Страницы