Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

e x > 0 ∃n 0 <
1
n
< x
a b
a < b r a < r < b
(∀a, b ∈ R)a < b ⇒ (∃r)r ∈ Q ∧ a < r < b.
b − a > 0 ∃n ∈ N 0 <
1
n
< b − a
h =
1
n
m
m−1
n
6 a <
m
n
b >
m
n
e b 6
m
n
b − a 6
m
n
− a 6
m
n
−
m−1
n
=
1
n
m
n
a <
m
n
< b
x
n
n 6 x < n + 1.
h = 1
n
x
[x] x 7→ [x]
-
6
-
-
-
-
-
-
q
q
q
q
q
q
q q q q q q
q
q
q
q
1
2
−1
−2
x
−2 −1
1 2 3 4
y
x−[x] x {x}
x x 7→ {x}
Ëåêöèÿ 5                                                                     43


   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.   e x > 0 (ñòðîãî!). Òîãäà ∃n 0 < n1 < x?!
×.Ò.Ä.
  Ñëåäñòâèå 3. Åñëè a, b ïðîèçâîëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà òàêèå,
÷òî a < b, òî íàéäåòñÿ ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r, äëÿ êîòîðîãî a < r < b:

                 (∀a, b ∈ R)a < b ⇒ (∃r)r ∈ Q ∧ a < r < b.


   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. b − a > 0, ïîýòîìó ∃n ∈ N 0 < n1 < b − a.
Ñîãëàñíî ïðèíöèïó Àðõèìåäà (ïðè h = n1 ), íàéäåòñÿ öåëîå m, äëÿ êîòîðîãî
m−1        m                           m
 n 6 a < n . Ïîêàæåì, ÷òî òîãäà b > n .

   e b 6 mn . Òîãäà b − a 6 mn − a 6 mn − m−1  1
                                           n = n ?!
                                  m                                     m
   Òàêèì îáðàçîì, âèäèì, ÷òî      n   èñêîìîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî: a <   n   < b.
×.Ò.Ä.


   Ñëåäñòâèå 4. Äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà x íàéäåòñÿ òàêîå
öåëîå ÷èñëî n, ÷òî

                              n 6 x < n + 1.


(íàäî âûáðàòü h = 1 â ïðèíöèïå Àðõèìåäà)
   Îïðåäåëåíèå. Öåëîå ÷èñëî n, ïîëó÷åííîå â ïðåäûäóùåì ñëåäñòâèè
äëÿ êàæäîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà x, íàçûâàåòñÿ åãî öåëîé ÷àñòüþ è
îáîçíà÷àåòñÿ [x]. Ôóíêöèÿ x 7→ [x] èìååò òàêîé ãðàôèê:
                                                         q -
                                  y6
                                  2q               q -

                                  1q         q -
                        q  q   q -q             q     q     q -
                       −2 −1 0      1          2     3     4 x
                           q - q −1
                        q -           q −2

   ×èñëî x−[x] íàçûâàåòñÿ äðîáíîé ÷àñòüþ ÷èñëà x è îáîçíà÷àåòñÿ {x} (íå
ïóòàòü ñ ìíîæåñòâîì, ñîñòîÿùèì èç îäíîãî ýëåìåíòà x) Ôóíêöèÿ x 7→ {x}
èìååò òàêîé ãðàôèê:

Страницы