Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(∀x ∈ A) x > b b
(∀b
0
> b) (∃x) x ∈ A) x < b
0
b
b
2
0
(∀ε > 0) (∃x) x ∈ A x < b + ε
inf A = −∞
A (
)
A ⇒ ∃!c = sup A
∃!
B
A
b ∈ B
def
⇔ (∀x ∈ A) ⇒ x 6 b
∀x ∈ A ∀b ∈ B x 6 b
c ∀x ∈ A ∀b ∈ B x 6 c 6 b
c A
c = sup A
c c
0
A c 6 c
0
c
c
0
6
c c = c
0
A (
)
A ⇒ ∃!c = inf A
1 > 0 −1 < 0
N = {1, 2, 3, . . . },
A ⊂ N
Ëåêöèÿ 5                                                               41


    1) (∀x ∈ A) x > b (ò.å. b ÿâëÿåòñÿ ìèíîðàíòîé)
    2) (∀b0 > b) (∃x) x ∈ A) è x < b0 (ò.å. ëþáîå áîëüøåå ÷åì b ÷èñëî íå
ÿâëÿåòñÿ ìèíîðàíòîé è, çíà÷èò, b  íàèáîëüøàÿ èç ìèíîðàíò).
    È çäåñü ñâîéñòâî 2) èìååò ðàâíîñèëüíóþ ôîðìóëèðîâêó ïðåäïî÷òèòåëü-
íóþ äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ:
    20 ) (∀ε > 0) (∃x) x ∈ A è x < b + ε
(Åñëè ìíîæåñòâî ìèíîðàíò ïóñòî, ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàþò inf A = −∞)
    Òåîðåìà. Åñëè ìíîæåñòâî A îãðàíè÷åíî ñâåðõó, òî îíî èìååò (åäèí-
ñòâåííóþ) òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü :
                     A  îãðàíè÷åíî ñâåðõó ⇒ ∃!c = sup A.
(∃! ÷èòàåòñÿ êàê ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ýëåìåíò. . . )
    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáîçíà÷èì ÷åðåç B ìíîæåñòâî âñåõ ìàæîðàíò
ìíîæåñòâà A:
                                  def
                           b ∈ B ⇔ (∀x ∈ A) ⇒ x 6 b
Ïî óñëîâèþ îíî íåïóñòî è ∀x ∈ A ∀b ∈ B x 6 b. Ñîãëàñíî ñâîéñòâó ïîëíîòû
ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî c, ÷òî ∀x ∈ A ∀b ∈ B x 6 c 6 b. Ëåâîå íåðàâåíñòâî
ãîâîðèò î òîì, ÷òî c  ìàæîðàíòà ìíîæåñòâà A, à ïðàâîå, ÷òî âñå äðóãèå
ìàæîðàíòû áîëüøå íåå, ò.å. c = sup A.
    Åäèíñòâåííîñòü. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò äâå òî÷íûå âåðõíèå
ãðàíè c è c0 ìíîæåñòâà A. Òîãäà c 6 c0 , òàê êàê ïî ïðåäïîëîæåíèþ c 
ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà ìàæîðàíò. Ïî àíàëîãè÷íîé ïðè÷èíå c0 6
c.  ñèëó àíòèñèììåòðè÷íîñòè îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà c = c0 .
    Òî÷íî òàê æå äîêàçûâàåòñÿ
    Òåîðåìà. Åñëè ìíîæåñòâî A îãðàíè÷åíî ñíèçó, òî îíî èìååò (åäèí-
ñòâåííóþ) òî÷íóþ íèæíþþ ãðàíü :
    A  îãðàíè÷åíî ñíèçó ⇒ ∃!c = inf A.
    Çàìå÷àíèå. Èç ïîñëåäíåãî äîêàçàòåëüñòâà ëåãêî óñìîòðåòü ñïðàâåä-
ëèâîñòü òåîðåìû:
    Åñëè ìíîæåñòâî èìååò ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò, òî îí åäèíñòâåí. Ìèíè-
ìàëüíûé ýëåìåíò òîæå åäèíñòâåí, åñëè ñóùåñòâóåò.

Ñâîéñòâî Àðõèìåäà
Îòìåòèì, ÷òî 1 > 0, −1 < 0 (âîîáùå ãîâîðÿ, ýòî òåîðåìû! Ïåðâóþ ìû
äîêàçàëè ðàíåå).
   Ïî îïðåäåëåíèþ ïîëîæèì
                N = {1, 2, 3, . . . },   ãäå 2=1+1, 3=2+1,. . .
   Òåîðåìà. Åñëè A ⊂ N îãðàíè÷åíî ñâåðõó, òî â íåì ñóùåñòâóåò ìàê-
ñèìàëüíûé ýëåìåíò.

Страницы