Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

∀x ∈ R −x = (−1) · x
x + (−1) · x = 1 · x + (−1) · x =
¡
1 + (−1)
¢
· x = 0 · x = 0
x y x < y x 6 y
x 6= y
x < y
def
⇔ x 6 y ∧x 6= y.
x y z w
x < y ∧y 6 z ⇒ x < z;
x < y ⇒ ∀z x + z < y + z ;
0 < x ⇒ −x < 0;
x 6 y ∧z 6 w ⇒ x + z 6 y + w;
x < y ∧z 6 w ⇒ x + z < y + w;
0 < x ∧ 0 < y ⇒ 0 < x · y;
x < 0 ∧ y < 0 ⇒ 0 < x · y;
x < 0 ∧ 0 < y ⇒ x · y < 0;
x < y ∧0 < z ⇒ xz < yz.
0 < 1
1 ∈ R
∗
0 6= 1
1 < 0
1 < 0 ∧ 1 < 0 ⇒ 0 < 1 · 1 ⇒ 0 < 1 ?!
A ⊂ R
M A M
(∃M)(∀x) x ∈ A ⇒ x 6 M
Ëåêöèÿ 5                                                                     39


   Òåîðåìà 2.    ∀x ∈ R −x = (−1) · x
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.     ¡        ¢
   x + (−1) · x = 1 · x + (−1) · x = 1 + (−1) · x = 0 · x = 0
    Òåïåðü ïðèâåäåì íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ àêñèîì ïîðÿäêà, íî ñíà÷àëà ñòàí-
äàðòíîå îïðåäåëåíèå.
    Îïðåäåëåíèå. Ïîëàãàåì x ñòðîãî ìåíüøå y (x < y ), êîãäà x 6 y è
x 6= y :
                               def
                         x < y ⇔ x 6 y ∧ x 6= y.


   Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ðåêîìåíäóåòñÿ äîêàçàòü ñàìèì â êà÷åñòâå óïðàæ-
íåíèÿ äëÿ îñâîåíèÿ àêñèîì.
   Òåîðåìà 4. Äëÿ ëþáûõ x, y , z , w ñïðàâåäëèâû èìïëèêàöèè :

                       x < y ∧ y 6 z ⇒ x < z;
                       x < y ⇒ ∀z x + z < y + z;
                       0 < x ⇒ −x < 0;
                       x 6 y ∧ z 6 w ⇒ x + z 6 y + w;
                       x < y ∧ z 6 w ⇒ x + z < y + w;
                       0 < x ∧ 0 < y ⇒ 0 < x · y;
                       x < 0 ∧ y < 0 ⇒ 0 < x · y;
                       x < 0 ∧ 0 < y ⇒ x · y < 0;
                       x < y ∧ 0 < z ⇒ xz < yz.

   Òåîðåìà 5.      0 < 1.
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òàê êàê 1 ∈ R∗ , èìååì 0 6= 1. Åñëè ïðåäïîëîæèòü
òåïåðü, ÷òî 1 < 0, òî

                     1 < 0 ∧ 1 < 0 ⇒ 0 < 1 · 1 ⇒ 0 < 1 ?!

Ñëåäñòâèÿ àêñèîìû ïîëíîòû
Çäåñü ìû ïîëó÷àåì îñíîâíûå äëÿ àíàëèçà ñâîéñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë:
ñóùåñòâîâàíèå òî÷íûõ âåðõíåé è íèæíåé ãðàíåé ó îãðàíè÷åííîãî ìíîæå-
ñòâà.
   Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî A ⊂ R íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì ñâåðõó,
åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî M , ÷òî âñå ÷èñëà èç A ìåíüøå ýòîãî M :

                          (∃M )(∀x) x ∈ A ⇒ x 6 M

Страницы