Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

∀x ∈ R x 6 x
∀x, y ∈ R x 6 y y 6 x ⇒ x = y
∀x, y, z ∈ R x 6 y y 6 z ⇒ x 6 z
∀x, y ∈ R x 6 y y 6 x
∀x, y, z ∈ R x 6 y ⇒ x + z 6 y + z
∀x, y, z ∈ R x 6 y 0 6 z ⇒ xz 6 yz
( )
∀A, B ⊂ R ∀x ∈ A ∀y ∈ B x 6 y ⇒ ∃c ∈ R ∀x ∈ A ∀y ∈ B x 6 c 6 y
c ∈ R x 6 c 6 y
x ∈ A y ∈ B
A = {x ∈ Q : x 6 0∨x
2
6 2}
√
2 B = {y ∈ Q : y > 0∧y
2
> 2}
√
2
A B
c
x 6 c 6 y x ∈ A y ∈ B
√
2
∀x ∈ R 0 · x = 0
x + 0 · x = 1 · x + 0 · x = (1 + 0) · x = 1 · x = x = x + 0
x + 0 · x = x + 0 0 · x = 0
38                                                      Êëåâ÷èõèí Þ.À


    1. ∀x ∈ R x 6 x (ðåôëåêñèâíîñòü)
    2. ∀x, y ∈ R x 6 y è y 6 x ⇒ x = y (àíòèñèììåòðè÷íîñòü)
    3. ∀x, y, z ∈ R x 6 y è y 6 z ⇒ x 6 z (òðàíçèòèâíîñòü)
    4. ∀x, y ∈ R x 6 y èëè y 6 x (ëèíåéíîñòü, ò.å. ëþáûå ÷èñëà ñðàâíèìû
îòíîñèòåëüíî ýòîãî ïîðÿäêà)
    V. Ïîðÿäîê ñâÿçàí ñ àëãåáðàè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè ñëåäóþùèì îáðàçîì:
    ∀x, y, z ∈ R x 6 y ⇒ x + z 6 y + z (ê îáåèì ÷àñòÿì íåðàâåíñòâà ìîæíî
ïðèáàâëÿòü îäíî è òî æå ÷èñëî)
    ∀x, y, z ∈ R x 6 y è 0 6 z ⇒ xz 6 yz (îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà ìîæíî
óìíîæàòü íà ÷èñëî áîëüøåå íóëÿ)
    VI. Íàèáîëåå âàæíîå äëÿ àíàëèçà ñâîéñòâî îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà ýòî ñâîé-
ñòâî (àêñèîìà) ïîëíîòû :
    ∀A, B ⊂ R ∀x ∈ A ∀y ∈ B x 6 y ⇒ ∃c ∈ R ∀x ∈ A ∀y ∈ B x 6 c 6 y .
(Äëÿ ëþáûõ äâóõ ìíîæåñòâ, îäíî èç êîòîðûõ öåëèêîì ëåæèò ëåâåå äðóãîãî,
íàéäåòñÿ ÷èñëî c ∈ R ðàçäåëÿþùåå ýòè ìíîæåñòâà, ò.å. x 6 c 6 y äëÿ
ëþáûõ x ∈ A è y ∈ B )
    Íåòðèâèàëüíîñòü ýòîãî ñâîéñòâà ìîæíî ïîíÿòü èç òîãî, ÷òî, íàïðè-
ìåð, ìíîæåñòâî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ýòèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàåò (âñå
îñòàëüíûå âûïîëíåíû è äëÿ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë!). Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü
A = {x ∈ √  Q : x 6 0 ∨ x2 6 2}  âñå îòðèöàòåëüíûå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà èëè
ìåíüøèå 2, B = {y ∈ Q : y >√0∧y 2 > 2}  âñå ïîëîæèòåëüíûå ðàöèîíàëü-
íûå ÷èñëà, êîòîðûå áîëüøå 2. Î÷åâèäíî, ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî èç
ìíîæåñòâà A ìåíüøå ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà èç ìíîæåñòâà B . Òåì íå
ìåíåå, íå ñóùåñòâóåò ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà c îòäåëÿþùåãî ýòè ìíîæåñòâà,
ò.å. òàêîãî, ÷òîáû áûëî x 6 c 6 y äëÿ ëþáûõ x ∈ A è y ∈ B , òàê êàê íà
ðîëü òàêîãî ÷èñëà ìîæåò ïðåòåíäîâàòü òîëüêî òàêîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî,
êâàäðàò êîòîðîãî ðàâåí äâóì. Íî, êàê ìû âèäåëè, òàêîãî ðàöèîíàëüíîãî
                                                              √
÷èñëà íå ñóùåñòâóåò (ñì. äîêàçàòåëüñòâî èððàöèîíàëüíîñòè 2).

Ñëåäñòâèÿ èç àêñèîì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë
Ñíà÷àëà ïðèâåäåì ïðîñòåéøèå ñëåäñòâèÿ èç ïåðâûõ ïÿòíàäöàòè àêñèîì
(èñêëþ÷àÿ àêñèîìó ïîëíîòû). Ýòèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàþò è ðàöèîíàëü-
íûå ÷èñëà, ïîýòîìó ìû ïðèâîäèì äàëåêî íå ïîëíûé ñïèñîê ñëåäñòâèé è
òîëüêî äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîäåìîíñòðèðîâàòü íåòðèâèàëüíîñòü âûâîäà èç
àêñèîì ýòèõ ïðîñòûõ àðèôìåòè÷åñêèõ ðàâåíñòâ è íåðàâåíñòâ.
   Òåîðåìà 1. ∀x ∈ R 0 · x = 0.
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.
   x + 0 · x = 1 · x + 0 · x = (1 + 0) · x = 1 · x = x = x + 0
   Òàêèì îáðàçîì, x + 0 · x = x + 0, îòêóäà 0 · x = 0. ×.Ò.Ä.

Страницы