Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 36 стр.

36                                                             Êëåâ÷èõèí Þ.À


                                                                                p
÷èñåë (p, q)), ãäå p  öåëîå ÷èñëî, à q  íàòóðàëüíîå. Ïðè ýòîì äðîáè           q
      0
     p
è    q0   îòîæäåñòâëÿþòñÿ (ò.å. ñ÷èòàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, çàïèñûâàþò ýòî
p         p0
q =    òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà pq 0 = qp0 . Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî
          q 0 ),
ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë  ýòî ôàêòîð-ìíîæåñòâî (Z × N)/ =.
   Äðóãîé òèï îïðåäåëåíèÿ íàçûâàåòñÿ àêñèîìàòè÷åñêèì è ñâîäèòñÿ ê ïå-
ðå÷èñëåíèþ âñåõ õàðàêòåðíûõ ñâîéñòâ, êîòîðûìè äîëæåí îáëàäàòü îïðå-
äåëÿåìûé îáúåêò. Ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî îáúåêò
ñ òàêèìè ñâîéñòâàìè ñóùåñòâóåò è ïðèòîì ðîâíî îäèí (êàê ïðàâèëî, ñ
òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà).
   Ñóùåñòâîâàíèå óñòàíàâëèâàþò ëèáî äîêàçàòåëüñòâîì íåïðîòèâîðå÷è-
âîñòè õàðàêòåðíûõ ñâîéñòâ (ò.å. ÷òî èç íèõ íåëüçÿ âûâåñòè èñòèííîñòè
A è ¬A äëÿ êàêîãî-íèáóäü óòâåðæäåíèÿ A òåîðèè) èëè ïîñòðîåíèåì ìî-
äåëè îïðåäåëÿåìîãî îáúåêòà, ò.å. ïðèâåäåíèåì ïðèìåðà îáúåêòà ñî âñåìè
ïåðå÷èñëåííûìè ñâîéñòâàìè, îòêóäà àâòîìàòè÷åñêè ñëåäóåò íåïðîòèâîðå-
÷èâîñòü (â ñëó÷àå íåïðîòèâîðå÷èâîñòè òîãî, èç ÷åãî ìîäåëèðóþò).
    Ïðèìåðîì àêñèîìàòè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå ìíî-
æåñòâà. Ïðè ýòîì ïîñòðîèòü êàêóþ-íèáóäü ìîäåëü íå óäàåòñÿ, òàê êàê
åå íå èç ÷åãî ñòðîèòü. Äîêàçàòåëüñòâî æå íåïðîòèâîðå÷èâîñòè äîñòàòî÷-
íî ñëîæíî è â íàñòîÿùåå âðåìÿ, íàïðèìåð, äîêàçàíî, ÷òî (ïðè íåêîòîðûõ
åñòåñòâåííûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ìåòîäû) òàêîãî äîêàçàòåëüñòâà íå ñóùå-
ñòâóåò âîâñå!
   Òåì íå ìåíåå, áîëüøèíñòâî ìàòåìàòèêîâ ñ÷èòàþò òåîðèþ ìíîæåñòâ
íåïðîòèâîðå÷èâîé (â òîé èëè èíîé ñòåïåíè îáùíîñòè) è, êàê ïðàâèëî, èñ-
ïîëüçóþò åå äëÿ ïîñòðîåíèÿ âñÿêîãî ðîäà ìîäåëåé ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåê-
òîâ.
   Ìû îïðåäåëÿåì çäåñü ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë àêñèîìàòè÷å-
ñêè, ò.å. ïåðå÷èñëÿåì âñå õàðàêòåðíûå ñâîéñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë,
âûâîäèì èç íèõ íåêîòîðûå âàæíûå äëÿ äàëüíåéøåãî ñëåäñòâèÿ è çàòåì
ñòðîèì ìîäåëü ýòîãî ìíîæåñòâà. Íà äîêàçàòåëüñòâå åäèíñòâåííîñòè ìû íå
îñòàíàâëèâàåìñÿ, òàê êàê äëÿ íàñ ñàìûì âàæíûì ÿâëÿåòñÿ âûâîä íåêîòî-
ðûõ ïîñòîÿííî èñïîëüçóåìûõ â àíàëèçå ñâîéñòâ (à èìåííî, ñóùåñòâîâàíèå
òî÷íûõ ãðàíåé ó îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà è ñëåäñòâèé ñâîéñòâà Àðõèìå-
äà).1


   1 Æåëàþùèõ áîëåå óãëóáëåííî èçó÷èòü ðàçëè÷íûå îïðåäåëåíèÿ è äîêàçàòåëüñòâà âñåõ
ñâîéñòâ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ìû îòñûëàåì ê êíèãàì [2], [9]