Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

A X
S
A∈A
A = X
∀A, B ∈ A A 6= B ⇒ A ∩ B = ∅
(X
i
)
i∈I
X
∼
x ∼ y
def
⇔ (∃i) x ∈ X
i
∧ y ∈ X
i
. (∗)
x y
X
i
∼ X
(X
i
) X ∼
(∗)
[x]
def
= {x
0
: x
0
∼ x}
[x]
x
[x] [y]
x
0
∈ [x] ∩ [y] x
0
∼ x
x
0
∼ y x ∼ x
0
x
0
∼ y
x ∼ y
[x] [y] [x] [y]
X
[x]
∼ X/ ∼
p
q
Ëåêöèÿ 5                                                                   35


      S ìíîæåñòâ A íàçûâàåòñÿ ðàçáèåíèåì ìíîæåñòâà X , åñëè
   Êëàññ
   1)    A = X,
      A∈A
   2) ∀A, B ∈ A   A 6= B ⇒ A ∩ B = ∅.
   Îêàçûâàåòñÿ ðàçáèåíèÿ î÷åíü òåñíî ñâÿçàíû ñ îòíîøåíèÿìè ýêâèâà-
ëåíòíîñòè. À èìåííî, èìåÿ ðàçáèåíèå (Xi )i∈I ìíîæåñòâà X ìîæíî îïðåäå-
ëèòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ∼ ïî ïðàâèëó:
                             def
                       x ∼ y ⇔ (∃i) x ∈ Xi ∧ y ∈ Xi .                      (∗)
(Ò.å. ïî îïðåäåëåíèþ ñ÷èòàåì x è y ýêâèâàëåíòíûìè òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà îíè ëåæàò â îäíîì è òîì æå ïîäìíîæåñòâå Xi íàøåãî ðàçáèåíèÿ.
Ðåôëåêñèâíîñòü, ñèììåòðè÷íîñòü è òðàíçèòèâíîñòü ýòîãî îòíîøåíèÿ î÷å-
âèäíà.)
    Îáðàòíî, âñÿêîå îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ∼ íà ìíîæåñòâå X ïîðî-
æäàåò ðàçáèåíèå (Xi ) ìíîæåñòâà X , äëÿ êîòîðîãî ∼ ïîëó÷àåòñÿ ïî ïðàâèëó
(∗). À èìåííî, ïîëîæèì
                                   def
                             [x] = {x0 : x0 ∼ x}
(ò.å. ÷åðåç [x] ìû îáîçíà÷èëè ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ ýêâèâàëåíòíûõ
ôèêñèðîâàííîìó ýëåìåíòó x)
    Òåîðåìà. Ìíîæåñòâà [x] è [y] ëèáî ñîâïàäàþò, ëèáî íå ïåðåñåêàþòñÿ.
    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Åñëè x0 ∈ [x] ∩ [y], òî ïî îïðåäåëåíèþ x0 ∼ x
è x0 ∼ y . Íî òîãäà (ïî ñâîéñòâó ñèììåòðè÷íîñòè) x ∼ x0 è x0 ∼ y . Îòêóäà
ïî ñâîéñòâó òðàíçèòèâíîñòè x ∼ y . Çíà÷èò, ïî ñâîéñòâó òðàíçèòèâíîñòè,
ëþáîé ýëåìåíò èç [x] ïðèíàäëåæèò [y] è îáðàòíî, ò.å. ìíîæåñòâà [x] è [y]
ñîâïàäàþò, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Èç äîêàçàííîé òåîðåìû è âûòåêàåò, ÷òî âñå ìíîæåñòâî X ðàñïàäàåòñÿ
íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ êëàññû [x], îáðàçóþùèå â ñîâîêóïíîñòè ðàçáèåíèå.
   Ýòîò ôàêò î÷åíü ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â ìàòåìàòèêå. Ïîëó÷åííîå ðàç-
áèåíèå íàçûâàþò ôàêòîð-ìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà X (ïîñòðîåííûì) ïî
îòíîøåíèþ ∼ è îáîçíà÷àþò X/ ∼.


 Ëåêöèÿ 5.
Òåîðèÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë
 ìàòåìàòèêå âñòðå÷àþòñÿ äâà îñíîâíûõ òèïà îïðåäåëåíèé. Ïåðâûé  êî-
ãäà îïðåäåëÿåìûé îáúåêò âûäåëÿåòñÿ èç óæå îïðåäåëåííîãî êëàññà îáúåê-
òîâ ïîñðåäñòâîì íåêîòîðîãî ñâîéñòâà, êîòîðûì îí äîëæåí îáëàäàòü. Íà-
ïðèìåð, ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî  ýòî äðîáü âèäà pq (èëè, åñëè õîòèòå, ïàðà

Страницы