Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

P(E)
= P(E)
X : I → P(E) I
E
(X
i
)
i∈I
E
(X
i
)
i∈I
(X
i
)
i∈I
[
i∈I
X
i
def
= {x : (∃i) x ∈ X
i
}
x X
i
(X
i
)
i∈I
\
i∈I
X
i
def
= {x : (∀i) x ∈ X
i
}
x X
i
(X
i
)
i∈I
Y
i∈I
X
i
def
= {(x
i
)
i∈I
: (∀i) x ∈ X
i
}
(x
i
)
i∈I
i X
i
X
i
X
Q
i∈I
X
i
=
Q
i∈I
X = X
I
X
I
I X
Ëåêöèÿ 4                                                                  33


   Î÷åíü ÷àñòî òåðìèí ñåìåéñòâî óïîòðåáëÿåòñÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ôóíê-
öèé ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ â ìíîæåñòâàõ, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ
äðóãèå ìíîæåñòâà, íàïðèìåð, â P(E) (ò.å. êîãäà îáëàñòü ïðèáûòèÿ ôóíê-
öèè = P(E)).  ýòîì ñëó÷àå âìåñòî ñëîâ:
     Ïóñòü X : I → P(E)  ôóíêöèÿ íà ìíîæåñòâå I ñî çíà÷åíèÿìè
     â êëàññå âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà E . . .
ïèøóò
     Ïóñòü (Xi )i∈I  ñåìåéñòâî ïîäìíîæåñòâ èç E . . . 
÷òî âûãëÿäèò ýëåãàíòíåå ïî ôîðìå è ëåãêî âîñïðèíèìàåòñÿ ïî ñìûñëó.
   Ñ ïðîèçâîëüíûìè ñåìåéñòâàìè ìíîæåñòâ (Xi )i∈I â ìàòåìàòèêå î÷åíü
÷àñòî ïðîèçâîäÿòñÿ ñëåäóþùèå îïåðàöèè:
   1) Îáúåäèíåíèå ñåìåéñòâà ìíîæåñòâ (Xi )i∈I :
                            [           def
                                  Xi = {x : (∃i) x ∈ Xi }
                            i∈I

(ýòî â òî÷íîñòè òå ýëåìåíòû x, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò õîòÿ áû îäíîìó Xi )
   2) Ïåðåñå÷åíèå ñåìåéñòâà ìíîæåñòâ (Xi )i∈I :
                            \           def
                                  Xi = {x : (∀i) x ∈ Xi }
                            i∈I

(òå ýëåìåíòû x, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò îäíîâðåìåííî âñåì Xi )
    3) Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ñåìåéñòâà ìíîæåñòâ (Xi )i∈I :
                      Y           def
                            Xi = {(xi )i∈I : (∀i) x ∈ Xi }
                      i∈I

Ýëåìåíòàìè ýòîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ âñåâîçìîæíûå ñåìåéñòâà (xi )i∈I ,
ó êîòîðûõ  i-ÿ êîìïîíåíòà 1 ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Xi .
    òîì ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà âñå X Qi ñîâïàäàþò
                                             Q    ñ îäíèì è òåì æå ìíî-
æåñòâîì X , î÷åâèäíî, ïðîèçâåäåíèå      Xi =   X = X I ñîâïàäàåò ñ ìíî-
                                              i∈I   i∈I
æåñòâîì X I âñåõ ôóíêöèé îïðåäåëåííûõ íà I è ñî çíà÷åíèÿìè â X (îòêóäà
è îáîçíà÷åíèå äëÿ ìíîæåñòâà âñåõ ôóíêöèé!)
   Íàèáîëåå ÷àñòî â ìàòåìàòèêå èñïîëüçóþòñÿ äâà òèïà ñåìåéñòâ ìíî-
æåñòâ: ïîêðûòèÿ è ðàçáèåíèÿ.
   1  ðóññêîì ÿçûêå åñòü ñëîâî êîìïîíåíò ìóæñêîãî ðîäà. Ìàòåìàòè÷åñêèé æå
òåðìèí êîìïîíåíòà æåíñêîãî ðîäà è ñîîòâåòñòâåííî ñêëîíÿåòñÿ

Страницы