Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

y ∈ f(A) ∪ f(B) y f(A) f(B)
x A B y = f(x)
x ∈ A ∪B y = f(x) ∈ f(A ∪B)
f(x) = sin x A = [0;
π
2
] B = [2π;
5π
2
]
f(A) = f(B) = [0; 1] f(A) ∩ f (B) = [0; 1]
A ∩ B = ∅ f(A ∩ B) = f(∅) = ∅
N
n
x
n
x(n)
X
( ) X x : N → X (x
n
)
n∈N
(x
n
)
∞
n=1
(x
n
)
{x
n
}
∞
n=1
x
n
Z {0} ∪ N
Ëåêöèÿ 4                                                                    31


   Îáðàòíî, åñëè y ∈ f (A) ∪ f (B), òî y ïðèíàäëåæèò f (A) èëè f (B). Ïî-
ýòîìó íàéäåòñÿ òàêîé ýëåìåíò x èç A èëè èç B , ÷òî y = f (x). Íî òîãäà
x ∈ A ∪ B , ïîýòîìó y = f (x) ∈ f (A ∪ B). ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Äîêàçàòåëüñòâà îñòàëüíûõ ñîîòíîøåíèé íè÷óòü íå òðóäíåå è îñòàåòñÿ â
êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ. Îòìåòèì òîëüêî, ÷òî ñîîòíîøåíèå (2) âûäåëÿåòñÿ â
ýòîì ñïèñêå îòñóòñòâèåì ðàâåíñòâà (â îáùåì ñëó÷àå). ×òîáû ïîíÿòü â ÷åì
òóò äåëî, ðàññìîòðèì ïðèìåð:
        Ïóñòü f (x) = sin x. Âîçüìåì A = [0; π2 ], B = [2π; 5π
                                                             2 ]. Î÷åâèä-
     íî, òîãäà f (A) = f (B) = [0; 1], çíà÷èò, f (A) ∩ f (B) = [0; 1]. Íî
     òàê êàê A ∩ B = ∅, èìååì f (A ∩ B) = f (∅) = ∅.


Ëåêöèÿ 4.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ñåìåéñòâà
Ôóíêöèè â ìàòåìàòèêå âîçíèêàþò ïîâñþäó è â îäíîì è òîì æå ìàòåìàòè-
÷åñêîì èññëåäîâàíèè ìîãóò âñòðå÷àòüñÿ ñîâåðøåííî ðàçíîðîäíûå ôóíê-
öèè. ×òîáû êàê-òî ãðóïïèðîâàòü îäíîðîäíûå è ðàçëè÷àòü ðàçíîðîäíûå
ôóíêöèè â ìàòåìàòèêå èìååòñÿ ìíîãî ñèíîíèìîâ ñëîâà ôóíêöèÿ. Â äàëü-
íåéøåì ìû ÷àñòî áóäåì óïîòðåáëÿòü òàêèå êàê îòîáðàæåíèå, îïåðàòîð,
ôóíêöèîíàë è äðóãèå.
   Íàçâàíèÿ ôóíêöèé ìîãóò îòðàæàòü èõ ãåîìåòðè÷åñêèé èëè ôèçè÷åñêèé
ñìûñë, íàïðèìåð: ìåðà, èíòåãðàë, åìêîñòü, ïîòåíöèàë; è äàæå íà÷åð-
òàíèå ïðè çàïèñè. Ê ïîñëåäíèì îòíîñÿòñÿ òàêèå òåðìèíû, êàê ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü è ñåìåéñòâî, ê îïðåäåëåíèþ êîòîðûõ ìû è ïðèñòóïàåì.
   Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü  ýòî ôóíêöèÿ, îáëàñòüþ îïðå-
äåëåíèÿ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî N âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë1 , ïðè÷åì
èñïîëüçóþòñÿ èíäåêñíûå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ çíà÷åíèé íà àðãóìåíòå n, òî åñòü
ïèøóò xn âìåñòî x(n). Åñëè åå îáëàñòüþ ïðèáûòèÿ ÿâëÿåòñÿ êàêîå-òî ìíî-
æåñòâî X , òî òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ
ýëåìåíòîâ (ìíîæåñòâà) X . Ïðè ýòîì, âìåñòî x : N → X ïèøóò (xn )n∈N
èëè (xn )∞
         n=1 (èëè ïðîñòî (xn ), êîãäà íå ìîæåò âîçíèêíóòü íåäîðàçóìåíèé).
Èíîãäà (îñîáåííî â ñòàðûõ êíèãàõ) äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
óïîòðåáëÿþò ôèãóðíûå ñêîáêè: {xn }∞   n=1 , ÷òî, âîîáùå ãîâîðÿ, íå æåëàòåëü-
íî, òàê êàê ìîæåò âûçâàòü íåêîòîðóþ ïóòàíèöó, êàê áóäåò âèäíî èç äàëü-
íåéøåãî.
   Çàäàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè î÷åíü ÷àñòî ëèáî ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû, ïî
êîòîðîé âû÷èñëÿåòñÿ  îáùèé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè  xn (ò.å. çíà÷åíèå
  1 èëè, èíîãäà Z, èëè åãî ïîäìíîæåñòâà, íàïðèìåð, {0} ∪ N

Страницы