Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

f
(∀x)(∀y
1
)(∀y
2
) ((x, y
1
) ∈ f) ∧ ((x, y
2
) ∈ f) ⇒ (y
1
= y
2
).
(∀x)(∀y
1
)(∀y
2
) (y
1
= f(x)) ∧ (y
2
= f(x)) ⇒ (y
1
= y
2
).
y
1
y
2
x
x
y
x X dom f = X
y ∈ Y
(X, Y, f) f
X × Y
Y
X
F(X, Y )
X → Y X
Y
B(X) X
C(X) X
(X, Y, f)
f : X → Y f ∈ X → Y
{(x, y) : y = ax
2
+ bx + c ∧ x ∈ R}
sin : R → R
(x, y) ∈ sin y = sin x y
x
x
X f
Y (X, Y, f)
(X, Y
0
, f)
Ëåêöèÿ 3                                                                        29


   2) f  ôóíêöèîíàëüíûé ãðàôèê, ò.å.
           (∀x)(∀y1 )(∀y2 ) ((x, y1 ) ∈ f ) ∧ ((x, y2 ) ∈ f ) ⇒ (y1 = y2 ).
 ñîîòâåòñòâèè ñ íàøèìè äîãîâîðåííîñòÿìè îá îáîçíà÷åíèÿõ, ïîñëåäíåå
ñâîéñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
           (∀x)(∀y1 )(∀y2 ) (y1 = f (x)) ∧ (y2 = f (x)) ⇒ (y1 = y2 ).
ò.å. åñëè äâà ýëåìåíòà y1 è y2 ñîîòâåòñòâóþò îäíîìó è òîìó æå x, òî îíè
îáÿçàíû ñîâïàäàòü! Î÷åâèäíî, ýòî òî æå ñàìîå, ÷òî îäíîìó ýëåìåíòó x
äîëæåí ñîîòâåòñòâîâàòü â òî÷íîñòè îäèí ýëåìåíò y . Î ÷åì è ãîâîðèòñÿ â
øêîëüíîì îïðåäåëåíèè: . . . êàæäîìó x èç X (ò.å. dom f = X ) ñîïîñòàâ-
ëÿåòñÿ ðîâíî îäèí ! y ∈ Y .
    Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ âèäèì, ÷òî ôóíêöèÿ (X, Y, f ) è åå ãðàôèê f 
ýòî, ïî ñóòè, îäíî è òî æå!1 Íî ãðàôèê ýòî ïðîñòî ïîäìíîæåñòâî èç äå-
êàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ X × Y , îáëàäàþùåå äâóìÿ (äîñòàòî÷íî ïðîñòûìè)
ñâîéñòâàìè 1) è 2). Ïîýòîìó ñ ôóíêöèÿìè ìîæíî îáðàùàòüñÿ êàê ñ îáû÷-
íûìè ìíîæåñòâàìè, â ÷àñòíîñòè, îáúåäèíÿòü èõ ïî êàêîìó-íèáóäü ïðèçíà-
êó, ñîñòàâëÿÿ èç íèõ íîâûå ìíîæåñòâà. Íàïðèìåð, ÷åðåç Y X (èëè F(X, Y ),
èëè X → Y ) îáîçíà÷àþò ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà X ñî
çíà÷åíèÿìè â Y .  äàëüíåéøåì áóäóò òî÷íî îïðåäåëåíû òàêèå ìíîæåñòâà,
êàê B(X)  âñåõ îãðàíè÷åííûõ ÷èñëîâûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà X ,
C(X)  âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà X è ò.ä.
    Îòìåòèì åùå, ÷òî âìåñòî îáîçíà÷åíèÿ (X, Y, f ) äëÿ ôóíêöèè îáùåïðè-
íÿòî áîëåå ñîîòâåòñòâóþùåå íàøåé èíòóèöèè ñâîåé íàãëÿäíîñòüþ îáîçíà-
÷åíèå f : X → Y (õîòÿ, áîëåå ëîãè÷íî áûëî áû ïèñàòü f ∈ X → Y ).
    Êîíêðåòíûå ôóíêöèè îïðåäåëÿþòñÿ îáû÷íî ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà âû-
äåëåíèÿ ïîñðåäñòâîì çàäàíèÿ ñâîéñòâà (ïðàâèëà, óñëîâèÿ), ïî êîòîðîìó ìû
äîëæíû âûäåëèòü ãðàôèê (ò.å. ïîäìíîæåñòâî) èç äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ.
    Íàïðèìåð, {(x, y) : y = ax2 + bx + c ∧ x ∈ R} çàäàåò êâàäðàòè÷íóþ
ôóíêöèþ.
    Áîëåå ñëîæíî çàäàþòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè. Ñêàæåì, ôóíê-
öèÿ sin : R → R, êàê ñëåäóåò èç øêîëüíîãî îïðåäåëåíèÿ, çàäàåòñÿ òàê:
      (x, y) ∈ sin (èëè y = sin x) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà y  ýòî
      îðäèíàòà êîíöà åäèíè÷íîãî ðàäèóñ-âåêòîðà (ñ íà÷àëîì â íóëå),
      ïîâåðíóòîãî ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè îò îñè àáñöèññ íà óãîë x
      (â ðàäèàíàõ èëè íà äóãó äëèíû x åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè).
   1 Íå ñîâñåì. Õîòÿ ìíîæåñòâî X îäíîçíà÷íî âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî ãðàôèêó f , ìíîæå-
ñòâî Y óæå ýòèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàåò. È ïî îïðåäåëåíèþ ìû äâå ôóíêöèè (X, Y, f ) è
(X, Y 0 , f ), îòëè÷àþùèåñÿ òîëüêî îáëàñòüþ ïðèáûòèÿ, äîëæíû ñ÷èòàòü ðàçëè÷íûìè!

Страницы