Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

f : X → Y X Y
f(x) f x x
X
f(A) A
y f x
A
f(A)
def
= {y : (∃x)x ∈ A ∧ y = f(x)}.
x f({x}) = {f (x)}
f(x)
f(x)
f
−1
(B) B B
Y f x
X f B
f
−1
(B)
def
= {x : (∃y) y ∈ B ∧ y = f(x)}.
B
ran f f
−1
(B) = ∅ B 6= ∅
f
f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)
f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B)
f
−1
(A ∪ B) = f
−1
(A) ∪ f
−1
(B)
f
−1
(A ∩ B) = f
−1
(A) ∩ f
−1
(B)
(1)
f(A ∪ B) f(A) ∪ f(B)
y ∈ f(A∪B)
x ∈ A ∪ B y = f(x) x A B
f(x) f(A) f(B) f(x) =
y ∈ f(A) ∪ f(B)
30                                                                    Êëåâ÷èõèí Þ.À


    Ïðèâåäåì íåêîòîðûå âàæíûå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ôóíêöèåé. Ïóñòü
f : X → Y  ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà X ñî çíà÷åíèÿìè â Y . Òîãäà:

f (x)  çíà÷åíèå ôóíêöèè f â òî÷êå x, êîãäà x  ýëåìåíò îáëàñòè îïðå-
      äåëåíèÿ X . Ýòî îáîçíà÷åíèå íå ðåêîìåíäóþò ïóòàòü ñî ñëåäóþùèì
      î÷åíü ïîõîæèì îáîçíà÷åíèåì:

f (A)  îáðàç ìíîæåñòâà A. Ïî îïðåäåëåíèþ ýòî ìíîæåñòâî âñåõ òåõ ýëå-
      ìåíòîâ y , â êîòîðûå îòîáðàæàþòñÿ (ïîñðåäñòâîì f ) ýëåìåíòû x èç
      A:
                             def
                       f (A) = {y : (∃x)x ∈ A ∧ y = f (x)}.
     Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ âèäèì, ÷òî, íàïðèìåð, îáðàç ìíîæåñòâà, ñî-
     ñòîÿùåãî èç îäíîãî ýëåìåíòà x, ýòî f ({x}) = {f (x)}  ìíîæåñòâî,
     ñîñòîÿùåå èç îäíîãî ýëåìåíòà f (x), à åãî íàäî ðàçëè÷àòü ñ ñàìèì
     ýëåìåíòîì f (x).

f −1 (B)  ïðîîáðàç ìíîæåñòâà B . Êîãäà B  ïîäìíîæåñòâî èç îáëàñòè
       ïðèáûòèÿ Y ôóíêöèè f , ïî îïðåäåëåíèþ ýòî âñå òå x èç îáëàñòè îïðå-
       äåëåíèÿ X , êîòîðûå f îòîáðàæàåò â B :
                                 def
                    f −1 (B) = {x : (∃y) y ∈ B ∧ y = f (x)}.

      ÷àñòíîñòè, åñëè B íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ îáëàñòüþ çíà÷åíèé ôóíêöèè
     ran f , òî f −1 (B) = ∅, äàæå åñëè B 6= ∅ (÷åãî íèêîãäà íå áûâàåò ñ
     îáðàçàìè ìíîæåñòâ).

  Òåîðåìà. Äëÿ îáðàçîâ è ïðîîáðàçîâ ìíîæåñòâ ïðè îòîáðàæåíèè f
èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ :

                         f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)                               (1)
                         f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)                               (2)
                         −1                 −1             −1
                     f        (A ∪ B) = f        (A) ∪ f        (B)              (3)
                         −1                 −1             −1
                     f        (A ∩ B) = f        (A) ∩ f        (B)              (4)

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äîêàæåì ðàâåíñòâî (1). Äëÿ ýòîãî äîêàæåì, ÷òî
âñÿêèé ýëåìåíò èç f (A ∪ B) ïðèíàäëåæèò f (A) ∪ f (B) è îáðàòíî.
   Èòàê, ïóñòü y ∈ f (A∪B). Òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ íàéäåòñÿ òàêîé ýëåìåíò
x ∈ A ∪ B , ÷òî y = f (x). Íî òàê êàê x ïðèíàäëåæèò A èëè B (èëè îáîèì
îäíîâðåìåííî), f (x) áóäåò ïðèíàäëåæàòü f (A) èëè f (B), òî åñòü f (x) =
y ∈ f (A) ∪ f (B).

Страницы