Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

n
x
1
, x
2
, x
3
, . . . , x
n
, . . .
x
n
=
n
n + 1
sin
2
nπ
4
.
1
2
,
1
2
,
1
4
,
3
4
,
1
8
,
7
8
, . . . ,
1
2
n
,
2
n
− 1
2
n
, . . .
(x
n
)
n∈N
{x
n
: n ∈ N} {x
n
}
x
n
= (−1)
n
−1, 1, −1, 1, −1, . . . , (−1)
n
, . . .
{(−1)
n
: n ∈ N} = {−1, 1}
−1 +1
n
x
n
(n, x
n
)
x
n
= (−1)
n
{(1, −1), (2, 1), (3, −1), (4, 1), . . . , (n, (−1)
n
), . . .}.
I X x I X
X
(x
i
)
i∈I
x
i
i
32                                                                          Êëåâ÷èõèí Þ.À


ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íà ïðîèçâîëüíîì íàòóðàëüíîì ÷èñëå n), ëèáî âûïèñû-
âàÿ â ñòðîêó (÷åðåç çàïÿòóþ) íåñêîëüêî ïåðâûõ ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíî-
ñòè2  (ò.å. çíà÷åíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íà ïåðâûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ):

                                    x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . .

Íàïðèìåð, (çàäà÷à 113 èç çàäà÷íèêà Á.Ï. Äåìèäîâè÷à [11])
                                               n       nπ
                                    xn =          sin2    .
                                              n+1       4
èëè (çàäà÷à 114 èç òîãî æå çàäà÷íèêà)
                        1 1 1 3 1 7      1 2n − 1
                         , , , , , ,..., n,       ,...
                        2 2 4 4 8 8     2    2n
   Î÷åíü ðåêîìåíäóåòñÿ íå ïóòàòü (îñîáåííî ìàòåìàòèêàì; ôèëîëîãàì èëè
þðèñòàì ìîæíî!) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn )n∈N è åå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé
{xn : n ∈ N} (ñîêðàùàÿ, ïèøóò åùå ïðîñòî {xn }). Íàïðèìåð, åñëè ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòü xn = (−1)n , òî åñòü

                             −1, 1, −1, 1, −1, . . . , (−1)n , . . .

òî åå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé {(−1)n : n ∈ N} = {−1, 1} ñîñòîèò âñåãî èç äâóõ
ýëåìåíòîâ (à íå áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà −1 è +1). Îøèáêà çäåñü ÷àñòî âîç-
íèêàåò ïîòîìó, ÷òî çíà÷åíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íà àðãóìåíòå n, òî åñòü
xn , ñòðîãî ãîâîðÿ íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü, êàê è âñÿêóþ äðóãóþ ôóíêöèþ, ìîæíî ñ÷èòàòü ïîäìíîæåñòâîì
äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ è òîãäà åå ýëåìåíòàìè ÿâëÿþòñÿ óïîðÿäî÷åííûå
ïàðû (n, xn ). À èõ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âñåãäà áåñêîíå÷íî ìíîãî. Íàïðè-
ìåð, â ðàññìîòðåííîé âûøå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn = (−1)n èìååòñÿ áåñ-
êîíå÷íî ìíîãî ý ë å ì å í ò î â:

                  {(1, −1), (2, 1), (3, −1), (4, 1), . . . , (n, (−1)n ), . . .}.

   Îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ñåìåé-
ñòâà.
   Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü I è X  äâà ìíîæåñòâà. Ôóíêöèþ x èç I â X
íàçûâàþò ñåìåéñòâîì ýëåìåíòîâ èç X , åñëè åå àðãóìåíò çàïèñûâàþò â
âèäå èíäåêñà, è â ýòîì ñëó÷àå ïðèìåíÿþò îáîçíà÷åíèÿ:

             (xi )i∈I  ñåìåéñòâî; xi  åãî çíà÷åíèå íà ýëåìåíòå i
     2 êàê áóäåò âèäíî íèæå, íå ñëåäóåò ãîâîðèòü ïåðâûõ ýëåìåíòîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

Страницы