Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(X
i
)
i∈I
E
X ⊂ E
[
i∈I
X
i
⊃ X.
X
i
X
X ⊂ E (X
i
)
i∈I
E
S
i∈I
X
i
= X
(∀i, j)i 6= j ⇒ X
i
∩ X
j
= ∅
X
n
=
³
1
n
; 1
´
(X
n
)
n∈N
(0; 1)
X
n
X
m
X
n
=
h
1
n+1
,
1
n
´
n = 1, 2, . . . (0; 1)
k 6= n ⇒ X
k
∩ X
n
= ∅,
[
n∈N
X
n
=
∞
[
n=1
X
n
= (0; 1).
U
X
[
U∈U
U ⊃ X,
U X
34                                                                   Êëåâ÷èõèí Þ.À


   Îïðåäåëåíèå. Ñåìåéñòâî (Xi )i∈I ïîäìíîæåñòâ èç E íàçûâàåòñÿ ïî-
êðûòèåì ìíîæåñòâà X ⊂ E , åñëè
                           [
                              Xi ⊃ X.
                                    i∈I

(÷òî âïîëíå ñîãëàñîâàíî ñ îáûäåííûì ñìûñëîì ñëîâà ïîêðûòèå 1 : ìíî-
æåñòâà Xi â ñîâîêóïíîñòè ïîêðûâàþò ìíîæåñòâî X )
   Îïðåäåëåíèå. Ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà X ⊂ E  ýòî ñåìåéñòâî (Xi )i∈I
ïîäìíîæåñòâ èç E , îáëàäàþùåå ñâîéñòâàìè:
           S
        1.   Xi = X ;
            i∈I
         2. (∀i, j)i 6= j ⇒ Xi ∩ Xj = ∅.
(òîæå â ñîãëàñèè ñ îáûäåííûì ïîíèìàíèåì òîãî, ÷òî íàçûâàåòñÿ ðàçáèòü
íà ÷àñòè)
   Î÷åâèäíî, âñÿêîå ðàçáèåíèå ÿâëÿåòñÿ ïîêðûòèåì, íî (âîîáùå ãîâîðÿ)
íå íàîáîðîò!            ³      ´
                          1
   Ïðèìåðû. 1) Xn = n       ; 1 . (Xn )n∈N  ïîêðûòèå èíòåðâàëà (0; 1) (äî-
êàçàòü!). Î÷åâèäíî, îíî íå ÿâëÿåòñÿ ðàçáèåíèåì, òàê êàê ðàçëè÷íûå Xn è
Xm ïåðåñåêàþòñÿ.
            h       ´
              1
   2) Xn = n+1  , n1 n = 1, 2, . . .  ðàçáèåíèå èíòåðâàëà (0; 1). Òàê êàê

                                           [            ∞
                                                        [
              k 6= n ⇒ Xk ∩ Xn = ∅,              Xn =         Xn = (0; 1).
                                           n∈N          n=1

(Äîêàçàòü.)
   Çàìå÷àíèå. Î÷åíü ÷àñòî òåðìèíàìè ðàçáèåíèå è ïîêðûòèå íàçû-
âàþò íå ñåìåéñòâà ìíîæåñòâ, à êëàññû 2 ìíîæåñòâ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè
ñâîéñòâàìè3 . Áîëåå òî÷íî, ãîâîðÿò, ÷òî êëàññ ìíîæåñòâ U ÿâëÿåòñÿ ïîêðû-
òèåì ìíîæåñòâà X , åñëè         [
                                    U ⊃ X,
                                    U ∈U

ò.å. îáúåäèíåíèå âñåõ ýëåìåíòîâ êëàññà U ñîäåðæèò X .
   1 Åùå îäíî ïîäõîäÿùåå ñëîâî íàêðûòèå â ìàòåìàòèêå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ñîâåðøåííî
äðóãîãî (áîëåå ñëîæíîãî) ïîíÿòèÿ
   2 çäåñü ñëîâî êëàññ ñèíîíèì ñëîâà ìíîæåñòâî, óïîòðåáëÿåòñÿ òîëüêî ÷òîáû íå ãî-
âîðèòü ìíîæåñòâî ìíîæåñòâ.
   3 Âïðî÷åì, ëþáîé êëàññ (ìíîæåñòâî) ìîæíî ëåãêî ïðåâðàòèòü â ñåìåéñòâî, âçÿâ â
êà÷åñòâå ìíîæåñòâà èíäåêñîâ åãî ñàìîãî, à çà ñåìåéñòâî  òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå.

Страницы