Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

X
xRy
def
⇔ x ∈ X ∧ y ∈ X ∧ x = y.
R X
Z
(p)
=
m
(p)
= n
def
⇔ m − n p
n n −n = 0
p
m − n p n − m = −(m − n)
p
m − n p n − k p
m − k = (m − n) + (n − k) p p
(p)
=
x X y Y
X Y f ⊂ X × Y
(X, Y, f)
dom f = X
28                                                    Êëåâ÷èõèí Þ.À


   Ïîäðîáíåå ìû èçó÷èì òàêèå îòíîøåíèÿ íåìíîãî ïîçæå, à ñåé÷àñ ðàñ-
ñìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ.
   Ïðèìåðû. 1) Ïóñòü X  ïðîèçâîëüíîå (íåïóñòîå) ìíîæåñòâî. Ïî îïðå-
äåëåíèþ ïîëîæèì
                               def
                       xRy ⇔ x ∈ X ∧ y ∈ X ∧ x = y.

Ýòî îòíîøåíèå R íàçûâàþò îòíîøåíèåì ðàâåíñòâà íà X . Î÷åâèäíî, îíî
ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè.
                                                          (p)
   2) Íà ìíîæåñòâå âñåõ öåëûõ ÷èñåë Z îïðåäåëèì îòíîøåíèå = ïî ïðà-
âèëó:
                 (p)     def
               m = n ⇔ m − n äåëèòñÿ íàöåëî íà ÷èñëî p
   Åãî ðåôëåêñèâíîñòü ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî äëÿ ëþáîãî n ÷èñëî n − n = 0
äåëèòñÿ íà p.
   Ñèììåòðè÷íîñòü: åñëè m − n äåëèòñÿ íà p, òî è n − m = −(m − n)
äåëèòñÿ íà p.
   Òðàíçèòèâíîñòü: åñëè m − n äåëèòñÿ íà p è n − k äåëèòñÿ íà p, òî
m − k = (m − n) + (n − k) äåëèòñÿ íà p (íà p äåëèòñÿ êàæäîå ñëàãàåìîå).
                   (p)
     Òàêèì îáðàçîì, =  îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè.


Ôóíêöèÿ
Îäíèì èç ñàìûõ ãëàâíûõ ïîíÿòèé äëÿ àíàëèçà (è ìàòåìàòèêè âîîáùå)
ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ. Ìû ïðèâîäèì çäåñü ïîëíîñòüþ ôîðìàëèçîâàííîå åãî
îïðåäåëåíèå, ãëàâíîå ïðåèìóùåñòâî êîòîðîãî ïî ñðàâíåíèþ ñ îáû÷íûì
øêîëüíûì (ôóíêöèÿ  ýòî ïðàâèëî, ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîìó ýëåìåí-
òó x èç X ðîâíî îäèí ýëåìåíò y èç Y ) ñîñòîèò â òîì, ÷òî èç íåãî âèäíî,
÷òî ñ ôóíêöèÿìè ìîæíî ïîñòóïàòü òàê æå êàê ñ äðóãèìè ìàòåìàòè÷åñêè-
ìè îáúåêòàìè (ìíîæåñòâàìè, ÷èñëàìè,. . . ), îáúåäèíÿÿ èõ â ìíîæåñòâà ïî
êàêîìó-íèáóäü ïðèçíàêó è èçó÷àòü ñâîéñòâà ïîëó÷åííîé ñîâîêóïíîñòè. À
äåëàòü ýòî ñ ïðàâèëàìè, êîòîðûå ÷òî-òî ÷åìó-òî ñîïîñòàâëÿþò êàê-òî
íåóþòíî. Ïî ñóòè æå, ïðèâîäèìîå îïðåäåëåíèå îçíà÷àåò â òî÷íîñòè òî æå
ñàìîå, ÷òî è îáû÷íîå øêîëüíîå. Ïîýòîìó, ÷òîáû õîðîøî ïîíÿòü ïðèâî-
äèìîå ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå ôóíêöèè, íàäî ïîñòîÿííî äåðæàòü â óìå
ñòàíäàðòíîå øêîëüíîå.
   Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü X è Y  (íåïóñòûå) ìíîæåñòâà è f ⊂ X × Y 
ãðàôèê. Òðîéêó (X, Y, f ) íàçûâàþò ôóíêöèåé, åñëè:
   1) dom f = X ;

Страницы