Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

X = {1, 2, 3} Y = {°, 4, ¤, ,}
X
Y
X
@
@
Y
°
4 ¤ ,
1 (1, °) (1, 4) (1, ¤) (1, ,)
2 (2, °) (2, 4) (2, ¤) (2, ,)
3 (3, °) (3, 4) (3, ¤) (3, ,)
X Y
(a; b) (c; d)
(a; b)×(c; d)
X×X =
X
2
X
R
2
(x, y)
G X ×Y
G X × Y
G
def
⇔ G ⊂ X × Y.
dom G
def
= {x : ∃y (x, y) ∈ G}
ran G
def
= {y : ∃x (x, y) ∈ G}
dom G G ran G
G X
G X 6= dom G
Y G
Y 6= ran G
(x, y) G
(x, y) ∈ G
def
⇔ G : x 7→ y
def
⇔ x
G
7→ y
def
⇔ y = G(x)
def
⇔ x G y
def
⇔ y = G
x
.
26                                                               Êëåâ÷èõèí Þ.À


    Ïðèìåðû. 1) Ïóñòü X = {1, 2, 3}, Y = {°, 4, ¤, ,}. Äëÿ òîãî ÷òîáû
óâèäåòü âñå óïîðÿäî÷åííûå ïàðû ñ ïåðâûì ýëåìåíòîì èç X , à âòîðûì èç
Y , ñîñòàâèì òàáëèöó:

                    @Y   °             4         ¤        ,
                    X@
                    1  (1, °)      (1, 4) (1, ¤) (1, ,)
                    2  (2, °)      (2, 4) (2, ¤) (2, ,)
                    3  (3, °)      (3, 4) (3, ¤) (3, ,)
Âèäèì, ÷òî âñåõ âîçìîæíûõ ïàð ñ ïåðâûì ýëåìåíòîì èç X , à âòîðûì èç Y
âñåãî 12 øòóê.
   2) Ïóñòü (a; b) è (c; d)  äâà èíòåðâàëà íà ïðÿìîé. Ïî àíàëîãèè ñ ïðåäû-
äóùèì ïðèìåðîì, î÷åâèäíî, èõ äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå (a; b)×(c; d) ìîæíî
îòîæäåñòâèòü ñ òî÷êàìè ïðÿìîóãîëüíèêà íà ïëîñêîñòè.
    ñëó÷àå, êîãäà â ïðîèçâåäåíèè îáà ñîìíîæèòåëÿ ðàâíû, ïèøóò X ×X =
X 2 è ïîëó÷åííîå ïðîèçâåäåíèå íàçûâàþò äåêàðòîâûì êâàäðàòîì ìíîæå-
ñòâà X .
   Òàê, íàïðèìåð, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäûäóùèì, äåêàðòîâ êâàäðàò ìíî-
æåñòâà âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R2 ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ìíîæåñòâîì
âñåõ òî÷åê ïëîñêîñòè, åñëè ôèêñèðîâàòü íà íåé (ïðÿìîóãîëüíóþ) ñèñòå-
ìó êîîðäèíàò è ñîïîñòàâèòü êàæäîé ïàðå ÷èñåë (x, y) òî÷êó ïëîñêîñòè ñ
òàêèìè êîîðäèíàòàìè.
   Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî G  ãðàôèê (â ïðîèçâåäåíèè X × Y ), åñëè
G  ïîäìíîæåñòâî â X × Y :
                                       def
                          G  ãðàôèê ⇔ G ⊂ X × Y.
Ïðè ýòîì ïîëàãàþò
                    def
            dom G = {x : ∃y (x, y) ∈ G}              (îò ñëîâà domain)
                    def
             ran G = {y : ∃x (x, y) ∈ G}             (îò ñëîâà range)
    dom G íàçûâàþò îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ãðàôèêà G, à ran G íàçûâàþò
îáëàñòüþ çíà÷åíèé ãðàôèêà G. Îòìåòèì, ÷òî ïðè ýòîì ìíîæåñòâî X íà-
çûâàþò îáëàñòüþ îòïðàâëåíèÿ ãðàôèêà G è â îáùåì ñëó÷àå X 6= dom G;
ìíîæåñòâî Y íàçûâàþò îáëàñòüþ ïðèáûòèÿ ãðàôèêà G è, âîîáùå ãîâîðÿ,
Y 6= ran G òîæå.
     ñëó÷àå, êîãäà ïàðà (x, y) ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó G ýòîò ôàêò îáîçíà-
÷àþò îäíèì èç ïðèâîäèìûõ íèæå ñïîñîáîâ:
              def            def   G       def             def      def
     (x, y) ∈ G ⇔ G : x 7→ y ⇔ x 7→ y ⇔ y = G(x) ⇔ x G y ⇔ y = Gx .

Страницы