Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

A B U
A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B ⇔ A ∩ B = A,
A ⊂ A ∪ B,
A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B,
A ∪ A
c
= U, A ∩ A
c
= ∅,
(A ∪ B)
c
= A
c
∩ B
c
,
(A ∩ B)
c
= A
c
∪ B
c
,
(A
c
)
c
= A.
X Y x ∈ X y ∈ Y
(x, y)
©
x, {x, y}
ª
(x, y)
x y
(x
1
, y
1
) (x
2
, y
2
)
(x
1
, y
1
) = (x
2
, y
2
) ⇔ x
1
= x
2
∧ y
1
= y
2
.
{x, y} = {y, x} x 6= y
(x, y) 6= (y, x)
X Y
(x, y)
X Y
X × Y
def
= {(x, y) : x ∈ X ∧ y ∈ Y }.
Ëåêöèÿ 3                                                                      25


  4. Åñëè A, B  ïîäìíîæåñòâà U, òî òîãäà

                         A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B ⇔ A ∩ B = A,
                         A ⊂ A ∪ B,
                         A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B,
                         A ∪ Ac = U, A ∩ Ac = ∅,
                         (A ∪ B)c = Ac ∩ B c ,
                         (A ∩ B)c = Ac ∪ B c ,
                         (Ac )c = A.

Ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ, ãðàôèêè, îòíîøåíèÿ
Ñëåäóþùèå íèæå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ ÿâëÿþòñÿ ãëàâíûìè äëÿ ìà-
òåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.
   Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü X , Y  ìíîæåñòâà è x ∈ X , y ∈ Y ©     . Óïîðÿäî- ª
÷åííàÿ ïàðà (x, y) â àêñèîìàòèêå îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìíîæåñòâî x, {x, y} .
Ìû íå õîòèì çäåñü îáñóæäàòü âñåõ ñëåäñòâèé òàêîãî îïðåäåëåíèÿ, îòìåòèì
òîëüêî, ÷òî ÷òîáû ïðàâèëüíî ïîëüçîâàòüñÿ ýòèì ïîíÿòèåì, íàäî ïðåäñòàâ-
ëÿòü ñåáå óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó (x, y), ïðîñòî êàê ïàðó ýëåìåíòîâ, âûïèñàí-
íûõ â îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå1 : ïåðâûé ýëåìåíò  ýòî x, âòîðîé  y .
   Ãëàâíîå ñâîéñòâî, ÿâëÿþùååñÿ îïðåäåëÿþùèì äëÿ óïîðÿäî÷åííîé ïà-
ðû, çàêëþ÷åíî â òîì, ÷òî ïðè ñðàâíåíèè äâóõ ïàð (x1 , y1 ) è (x2 , y2 ) îíè
ìîãóò ñîâïàäàòü òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîâïàäàþò ñîîòâåòñòâåííî èõ
ïåðâûå è âòîðûå ýëåìåíòû:

                    (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) ⇔ x1 = x2 ∧ y1 = y2 .

(ëåãêîå, íî ïîëåçíîå óïðàæíåíèå  äîêàçàòü èñõîäÿ èç îïðåäåëåíèÿ ýòîò
ôàêò. Îòìåòèì åùå, ÷òî äëÿ ìíîæåñòâ ýòî ñâîéñòâî íå âûïîëíåíî è âñåãäà
èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî {x, y} = {y, x}, íî ïðè x 6= y äëÿ óïîðÿäî÷åííûõ
ïàð (x, y) 6= (y, x).)
   Åñëè X è Y  äâà ìíîæåñòâà, òî èõ äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì (èëè
ïðîñòî ïðîèçâåäåíèåì ) íàçûâàþò ìíîæåñòâî âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð (x, y),
ïåðâûé ýëåìåíò êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò X , à âòîðîé  Y .
                              def
                     X × Y = {(x, y) : x ∈ X ∧ y ∈ Y }.
   1 Íà ñàìîì äåëå ïî ìíåíèþ ìíîãèõ, â òîì ÷èñëå è àâòîðà, ïîíÿòèå ôóíêöèè ÿâëÿ-
åòñÿ ñòîëü æå ïåðâè÷íûì, êàê è ìíîæåñòâà. Ôàêòè÷åñêè, àêñèîìà ïàðû ëåãàëèçóåò
ñóùåñòâîâàíèå ïðîñòåéøèõ ôóíêöèé, ïîçâîëÿÿ äàòü ñòðîãîå îïðåäåëåíèå îáùèõ
ôóíêöèé.

Страницы